® Si c
2 > 2mk, la fonction F (α) est décroissante.
®
F
α
1
1
Supposons 0 < c
2
2mk. Alors F (α) est maximum pour une
certaine valeur α 0 telle que 2m
2 α
2
0 = 2mk−c
2 . Le quotient F/E
est un gain d’amplitude entre l’excitation et la réponse : s’il est
supérieur à 1, l’oscillateur fonctionne en amplificateur.
Sur la figure, nous avons porté le gain en ordonnée et α en
abscisse. Chaque courbe montre les variations du gain pour une
valeur donnée de c ; le gain maximum est d’autant plus grand que c est plus petit.
Quand le coefficient d’amortissement c tend vers 0, le gain maximum tend vers l’infini et α 0 tend vers
k/m qui est la fréquence d’excitation provoquant la résonance
dans l’équation m¨ x + kx = 0 (page 456).
Application : franchissement d'une marche de potentiel
Considérons le mouvement rectiligne d’une particule d’énergie constante E dans un
champ de potentiel V (x), où x représente l’abscisse sur la trajectoire. En Mécanique
quantique, sa fonction d’onde ϕ(x)e
− i ωt doit (dans un état stationnaire) vérifier
l’équation différentielle
d
2 ϕ
dx
2
+ 2m
2
(E−V )ϕ = 0, où est la constante de Planck et
m la masse de la particule.
x
V
V 0
0
Prenons le potentiel V défini par V (x) = 0 si x < 0, V (x) = V 0 si x > 0, et supposons V 0 > 0 : on dit que c’est une « marche de potentiel » ; cette fonction discontinue
en 0 modélise un potentiel physique (en pointillé sur la figure)
qui varie continûment de 0 à V 0 sur un très petit intervalle de
longueur négligeable devant la longueur d’onde de la particule.
L’équation différentielle s’écrit
d
2 ϕ
dx
2
+ 2mE
2
ϕ = 0 dans le domaine x < 0
d
2 ϕ
dx
2
+
2m(E−V 0 )
2
ϕ = 0 dans le domaine x > 0
Cas E > V 0 : réflexion partielle. En Mécanique classique, une particule d’énergie
E franchit toujours une marche de potentiel V 0 < E. Nous allons voir que, dans
le cadre de la Mécanique quantique, l’onde associée a une probabilité non nulle
d’être réfléchie.
Posons k 1 =
√
2mE/ et k 2 =
2m(E−V 0 )/. Sous forme complexe, la solution
s’écrit
ϕ(x) =
ϕ 1 (x) = a 1 e
i k 1 x + a
1 e
− i k 1 x si x < 0
ϕ 2 (x) = a 2 e
i k 2 x + a
2 e
− i k 2 x si x > 0
On doit calculer les constantes pour raccorder ϕ 1 et ϕ 2 en x = 0 de sorte que le
résultat soit continu et dérivable en ce point (puisque V (x) n’est pas continu en
x = 0, l’équation différentielle montre que les solutions ne peuvent pas avoir de
dérivée seconde en ce point).
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 457
2 > 2mk, la fonction F (α) est décroissante.
®
F
α
1
1
Supposons 0 < c
2
2mk. Alors F (α) est maximum pour une
certaine valeur α 0 telle que 2m
2 α
2
0 = 2mk−c
2 . Le quotient F/E
est un gain d’amplitude entre l’excitation et la réponse : s’il est
supérieur à 1, l’oscillateur fonctionne en amplificateur.
Sur la figure, nous avons porté le gain en ordonnée et α en
abscisse. Chaque courbe montre les variations du gain pour une
valeur donnée de c ; le gain maximum est d’autant plus grand que c est plus petit.
Quand le coefficient d’amortissement c tend vers 0, le gain maximum tend vers l’infini et α 0 tend vers
k/m qui est la fréquence d’excitation provoquant la résonance
dans l’équation m¨ x + kx = 0 (page 456).
Application : franchissement d'une marche de potentiel
Considérons le mouvement rectiligne d’une particule d’énergie constante E dans un
champ de potentiel V (x), où x représente l’abscisse sur la trajectoire. En Mécanique
quantique, sa fonction d’onde ϕ(x)e
− i ωt doit (dans un état stationnaire) vérifier
l’équation différentielle
d
2 ϕ
dx
2
+ 2m
2
(E−V )ϕ = 0, où est la constante de Planck et
m la masse de la particule.
x
V
V 0
0
Prenons le potentiel V défini par V (x) = 0 si x < 0, V (x) = V 0 si x > 0, et supposons V 0 > 0 : on dit que c’est une « marche de potentiel » ; cette fonction discontinue
en 0 modélise un potentiel physique (en pointillé sur la figure)
qui varie continûment de 0 à V 0 sur un très petit intervalle de
longueur négligeable devant la longueur d’onde de la particule.
L’équation différentielle s’écrit
d
2 ϕ
dx
2
+ 2mE
2
ϕ = 0 dans le domaine x < 0
d
2 ϕ
dx
2
+
2m(E−V 0 )
2
ϕ = 0 dans le domaine x > 0
Cas E > V 0 : réflexion partielle. En Mécanique classique, une particule d’énergie
E franchit toujours une marche de potentiel V 0 < E. Nous allons voir que, dans
le cadre de la Mécanique quantique, l’onde associée a une probabilité non nulle
d’être réfléchie.
Posons k 1 =
√
2mE/ et k 2 =
2m(E−V 0 )/. Sous forme complexe, la solution
s’écrit
ϕ(x) =
ϕ 1 (x) = a 1 e
i k 1 x + a
1 e
− i k 1 x si x < 0
ϕ 2 (x) = a 2 e
i k 2 x + a
2 e
− i k 2 x si x > 0
On doit calculer les constantes pour raccorder ϕ 1 et ϕ 2 en x = 0 de sorte que le
résultat soit continu et dérivable en ce point (puisque V (x) n’est pas continu en
x = 0, l’équation différentielle montre que les solutions ne peuvent pas avoir de
dérivée seconde en ce point).
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 457