En identifiant, on obtient V = 0, U = E
ω
2 −α
2
et s(t) = E cos αt
ω
2 −α
2
.
La solution générale a cos(ωt − ϕ) + s(t) de l’équation est la superposition de deux
régimes périodiques de fréquences ω/2π (la fréquence propre) et α/2π (la fréquence
d’excitation).
Supposons α
2 = ω
2 . On cherche simplement un polynôme U (t) = ut sans terme
constant, car cos αt est solution de l’équation homogène. En posant s(t) = ut sin αt,
il vient ˙
s(t) = u sin αt+αut cos αt et
¨
s(t) + ω
2 s(t) = 2uα cos αt−uα
2 t sin αt + ω
2 ut sin αt = 2uα cos αt, car ω
2 = α
2 .
x
t
La fonction s(t) est donc solution si et seulement si 2uα = E , d’où la solution
s(t) = t sin αt
2α
E .
Cette solution particulière n’est pas bornée, elle présente des
oscillations d’amplitudes croissantes, limitées par les droites
de pente ±(1/2α) issues de l’origine. On dit que l’excitation
E cos ωt provoque la résonance de l’oscillateur.
Phénomène de battement. Supposons α = ω, mais α et ω peu différents. La
solution de conditions initiales x(0) = ˙
x(0) = 0 est
x(t) = E
α
2
−ω
2
cos ωt − cos αt
= 2E
α
2
−ω
2
sin
(α+ω)t
2
sin
(α−ω)t
2
x
t
Puisque |α − ω| est petit, la période de sin
(α−ω)t
2
est grande :
les oscillations de x(t) sont lentement modulées en amplitude.
Cas des oscillations amorties. Cherchons une solution particulière s(t) de l’équation du pendule m¨ x+c ˙
x + kx = E cos αt, où les nombres positifs k, c et m vérifient
0 < c
2 < 4mk. En posant s(t) = U cos αt + V sin αt et en identifiant dans l’équation,
on obtient le système linéaire
(k−mα
2 )U + cαV = E
−CαU + (k−mα
2 )V = 0
et la solution
U =
E(k−mα
2 )
(k−mα
2 )
2 + c
2 α
2
, V =
Ecα
(k−mα
2 )
2 + c
2 α
2
On a s(t) = F cos(αt − ϕ), où F =
√
U 2 + V 2 =
E
(k−mα 2 ) 2 + c 2 α 2
est l’amplitude
maximale de la fonction s.
Quand t tend vers +∞, chaque solution de l’équation homogène tend vers 0 comme
une fonction e
−rt . Il s’ensuit que la réponse de l’oscillateur est rapidement très
voisine de s(t). Cette réponse est périodique, de même période que l’excitation,
mais déphasée de ϕ, où tan ϕ = V /U = cα/(k−mα
2 ). Faisons varier la fréquence
d’excitation et cherchons le comportement de l’amplitude F .
Supposons α > 0.
Comme fonction de α, F varie dans le sens contraire de (k−mα
2 )
2 +c
2 α
2 . La dérivée
dF
dα
a donc le signe de − d
dα
(k−mα
2 )
2 + c
2 α
2
= −2α
(c
2
−2mk)+2m
2 α
2
.
456 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES LIN ´
EAIRES D’ORDRE 2
ω
2 −α
2
et s(t) = E cos αt
ω
2 −α
2
.
La solution générale a cos(ωt − ϕ) + s(t) de l’équation est la superposition de deux
régimes périodiques de fréquences ω/2π (la fréquence propre) et α/2π (la fréquence
d’excitation).
Supposons α
2 = ω
2 . On cherche simplement un polynôme U (t) = ut sans terme
constant, car cos αt est solution de l’équation homogène. En posant s(t) = ut sin αt,
il vient ˙
s(t) = u sin αt+αut cos αt et
¨
s(t) + ω
2 s(t) = 2uα cos αt−uα
2 t sin αt + ω
2 ut sin αt = 2uα cos αt, car ω
2 = α
2 .
x
t
La fonction s(t) est donc solution si et seulement si 2uα = E , d’où la solution
s(t) = t sin αt
2α
E .
Cette solution particulière n’est pas bornée, elle présente des
oscillations d’amplitudes croissantes, limitées par les droites
de pente ±(1/2α) issues de l’origine. On dit que l’excitation
E cos ωt provoque la résonance de l’oscillateur.
Phénomène de battement. Supposons α = ω, mais α et ω peu différents. La
solution de conditions initiales x(0) = ˙
x(0) = 0 est
x(t) = E
α
2
−ω
2
cos ωt − cos αt
= 2E
α
2
−ω
2
sin
(α+ω)t
2
sin
(α−ω)t
2
x
t
Puisque |α − ω| est petit, la période de sin
(α−ω)t
2
est grande :
les oscillations de x(t) sont lentement modulées en amplitude.
Cas des oscillations amorties. Cherchons une solution particulière s(t) de l’équation du pendule m¨ x+c ˙
x + kx = E cos αt, où les nombres positifs k, c et m vérifient
0 < c
2 < 4mk. En posant s(t) = U cos αt + V sin αt et en identifiant dans l’équation,
on obtient le système linéaire
(k−mα
2 )U + cαV = E
−CαU + (k−mα
2 )V = 0
et la solution
U =
E(k−mα
2 )
(k−mα
2 )
2 + c
2 α
2
, V =
Ecα
(k−mα
2 )
2 + c
2 α
2
On a s(t) = F cos(αt − ϕ), où F =
√
U 2 + V 2 =
E
(k−mα 2 ) 2 + c 2 α 2
est l’amplitude
maximale de la fonction s.
Quand t tend vers +∞, chaque solution de l’équation homogène tend vers 0 comme
une fonction e
−rt . Il s’ensuit que la réponse de l’oscillateur est rapidement très
voisine de s(t). Cette réponse est périodique, de même période que l’excitation,
mais déphasée de ϕ, où tan ϕ = V /U = cα/(k−mα
2 ). Faisons varier la fréquence
d’excitation et cherchons le comportement de l’amplitude F .
Supposons α > 0.
Comme fonction de α, F varie dans le sens contraire de (k−mα
2 )
2 +c
2 α
2 . La dérivée
dF
dα
a donc le signe de − d
dα
(k−mα
2 )
2 + c
2 α
2
= −2α
(c
2
−2mk)+2m
2 α
2
.
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ERENTIELLES LIN ´
EAIRES D’ORDRE 2