Amortissement fort : c 2 > 4mk .
x
t
1
x 0
L’équation caractéristique a deux racines
réelles r 1 , r 2 négatives (le produit r 1 r 2 = k/m étant positif, les racines ont le même signe, celui de leur somme
r 1 + r 2 = −c/m < 0 : voir page 52). Les solutions sont données
par x(t) = λ 1 e
r 1 t + λ 2 e
r 2 t . La masse n’oscille pas, elle revient
vers sa position d’équilibre x = 0 quand t tend vers l’infini.
Amortissement critique : c 2 = 4mk . L’équation caractéristique a une racine
double −c/2m et les solutions sont x(t) = e
−ct/2m (λ 1 t + λ 2 ). x
t
1
x 0
La masse n’oscille pas. Puisqu’une exponentielle n’est jamais
nulle, x(t) s’annule exactement une fois : dans l’intervalle de
temps t 0, la masse ne peut passer qu’au plus une fois par
sa position d’équilibre.
Dans certains circuits électroniques, les valeurs des composants sont calculées pour que
le dispositif présente ce type de fonctionnement.
Recherche d'une solution de l'équation complète
Considérons un oscillateur mécanique sur lequel on fait agir une force variable f (t),
ou bien un circuit résistance-capacité-inductance alimenté par un générateur de tension
variable E(t). La réponse x(t) à l’excitation est solution d’une équation différentielle
¨
x + p ˙
x + qx = b(t) de second membre b(t) = f (t) ou b(t) = E(t) selon le cas.
Pour trouver une solution particulière, on peut utiliser la formule générale donnée
page 451. Mais plaçons-nous dans le cas fréquent d’un second membre de la forme
A(t) cos αt ou bien A(t) sin αt, avec A une fonction polynôme.
On cherche alors directement une solution particulière
s(t) = U (t) cos αt + V (t) sin αt, où U et V sont des polynômes
® de même degré que A si i α n’est pas racine de l’équation caractéristique
z
2 + pz + q = 0,
® de degré 1 + deg A si i α est racine de l’équation caractéristique.
Cas non amorti. Cherchons une solution de l’équation différentielle ¨
x + ω
2 x =
E cos αt (E constant) sous la forme s(t) = U (t) cos αt + V (t) sin αt, où U et V sont
des polynômes. L’équation caractéristique z
2 + ω
2 = 0 a pour racines ± i ω.
Supposons α = ±ω . Les polynômes U et V sont alors des constantes. En posant
s 1 (t) = U cos αt et s 2 (t) = V sin αt, il vient
¨
s 1 (t)+ω
2 s 1 (t) = −α
2 U cosαt +ω
2 U cosαt , ¨
s 2 (t)+ω
2 s 2 (t) = −α
2 V sinαt+ω
2 V sinαt
La fonction s(t) est solution si et seulement si l’on a
(ω
2
−α
2 )U cos αt + (ω
2
−α
2 )V sin αt = E cos αt quel que soit t.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 455
x
t
1
x 0
L’équation caractéristique a deux racines
réelles r 1 , r 2 négatives (le produit r 1 r 2 = k/m étant positif, les racines ont le même signe, celui de leur somme
r 1 + r 2 = −c/m < 0 : voir page 52). Les solutions sont données
par x(t) = λ 1 e
r 1 t + λ 2 e
r 2 t . La masse n’oscille pas, elle revient
vers sa position d’équilibre x = 0 quand t tend vers l’infini.
Amortissement critique : c 2 = 4mk . L’équation caractéristique a une racine
double −c/2m et les solutions sont x(t) = e
−ct/2m (λ 1 t + λ 2 ). x
t
1
x 0
La masse n’oscille pas. Puisqu’une exponentielle n’est jamais
nulle, x(t) s’annule exactement une fois : dans l’intervalle de
temps t 0, la masse ne peut passer qu’au plus une fois par
sa position d’équilibre.
Dans certains circuits électroniques, les valeurs des composants sont calculées pour que
le dispositif présente ce type de fonctionnement.
Recherche d'une solution de l'équation complète
Considérons un oscillateur mécanique sur lequel on fait agir une force variable f (t),
ou bien un circuit résistance-capacité-inductance alimenté par un générateur de tension
variable E(t). La réponse x(t) à l’excitation est solution d’une équation différentielle
¨
x + p ˙
x + qx = b(t) de second membre b(t) = f (t) ou b(t) = E(t) selon le cas.
Pour trouver une solution particulière, on peut utiliser la formule générale donnée
page 451. Mais plaçons-nous dans le cas fréquent d’un second membre de la forme
A(t) cos αt ou bien A(t) sin αt, avec A une fonction polynôme.
On cherche alors directement une solution particulière
s(t) = U (t) cos αt + V (t) sin αt, où U et V sont des polynômes
® de même degré que A si i α n’est pas racine de l’équation caractéristique
z
2 + pz + q = 0,
® de degré 1 + deg A si i α est racine de l’équation caractéristique.
Cas non amorti. Cherchons une solution de l’équation différentielle ¨
x + ω
2 x =
E cos αt (E constant) sous la forme s(t) = U (t) cos αt + V (t) sin αt, où U et V sont
des polynômes. L’équation caractéristique z
2 + ω
2 = 0 a pour racines ± i ω.
Supposons α = ±ω . Les polynômes U et V sont alors des constantes. En posant
s 1 (t) = U cos αt et s 2 (t) = V sin αt, il vient
¨
s 1 (t)+ω
2 s 1 (t) = −α
2 U cosαt +ω
2 U cosαt , ¨
s 2 (t)+ω
2 s 2 (t) = −α
2 V sinαt+ω
2 V sinαt
La fonction s(t) est solution si et seulement si l’on a
(ω
2
−α
2 )U cos αt + (ω
2
−α
2 )V sin αt = E cos αt quel que soit t.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 455