Posons z(t)=
y
(t)−iωy(t)
e
i ωt . En dérivant, on obtient z
(t)=
y
(t)+ω
2 y(t)
e
i ωt =0,
donc z(t)=c, une constante. Comme ci-dessus, y(t) est solution de l’équation différentielle
du premier ordre (à coefficients complexes) y
=iωy+ce
− i ωt . La fonction −(c/2iω)e
− i ωt
est une solution particulière, d’où la solution générale : y(t) = αe
i ωt
−(c/2 i ω)e
− i ωt , α
et c étant des nombres complexes quelconques. Les solutions à valeurs réelles sont les
λ 1 cos ωt + λ 2 sin ωt, où λ 1 et λ 2 sont réels, et en multipliant par e
rt , on obtient les
solutions de (h).
Exemple : l'oscillateur libre
On nomme ainsi les dispositifs physiques conduisant à une équation différentielle
linéaire homogène d’ordre 2. En voici deux exemples (on note comme d’habitude ˙
x
et ¨
x les dérivées par rapport au temps).
1)
x
m
0
Considérons une masse m suspendue à un ressort de raideur k. Si l’on
écarte la masse de sa position d’équilibre (dans le sens vertical), son
mouvement est régi par l’équation différentielle m¨ x + c ˙
x + kx = 0, où c
est un coefficient d’amortissement (dû par exemple au frottement).
2) Quand on laisse se décharger un condensateur de capacité C dans une bobine
d’inductance L et de résistance R, sa charge q(t) satisfait l’équation différentielle
L¨ q + R ˙
q + 1
C
q = 0 (l’intensité dans le circuit est ˙
q(t)).
Décrivons le comportement des solutions en prenant l’exemple du pendule d’équation
(h) m¨ x + c ˙
x + kx = 0. L’équation caractéristique est mz
2 + cz + k = 0.
Oscillations non amorties : c = 0 . L’équation (h) s’écrit ¨
x + (k/m)x = 0 et
les solutions sont les fonctions x(t) = λ 1 cos ωt + λ 2 sin ωt, où ω =
k/m. On peut
aussi écrire les solutions sous la forme
x(t) = a cos(ωt − ϕ), en posant a =
λ 2
1 + λ 2
2 et tan ϕ = λ 2 /λ 1 .
x
t
1
π
x 0
Le mouvement est périodique, de période T = 2π/ω : pour une
masse donnée, la fréquence 1/T augmente avec la raideur k du
ressort. La figure montre des solutions pour un même déplacement initial x(0) = x 0 à partir de l’équilibre avec différentes
vitesses initiales ˙
x(0) = v 0 , pente de la tangente en t = 0.
Oscillations amorties : 0 < c 2 < 4mk . Les racines de l’équation caractéristique sont les nombres complexes −r ± i ω, où r = c/(2m) et ω = (1/2m)
√
4mk − c 2 .
Les solutions sont données par
x(t) = ae
−rt cos(ωt − ϕ), où a > 0 et ϕ sont des constantes.
x
t
1
π
x 0
Le mouvement consiste en des oscillations d’amplitudes de
plus en plus petites, les positions extrêmes étant limitées par
les fonctions ±ae
−rt qui tendent vers 0 quand t tend vers
+∞ : la masse revient en oscillant vers sa position d’équilibre.
454 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES LIN ´
EAIRES D’ORDRE 2
y
(t)−iωy(t)
e
i ωt . En dérivant, on obtient z
(t)=
y
(t)+ω
2 y(t)
e
i ωt =0,
donc z(t)=c, une constante. Comme ci-dessus, y(t) est solution de l’équation différentielle
du premier ordre (à coefficients complexes) y
=iωy+ce
− i ωt . La fonction −(c/2iω)e
− i ωt
est une solution particulière, d’où la solution générale : y(t) = αe
i ωt
−(c/2 i ω)e
− i ωt , α
et c étant des nombres complexes quelconques. Les solutions à valeurs réelles sont les
λ 1 cos ωt + λ 2 sin ωt, où λ 1 et λ 2 sont réels, et en multipliant par e
rt , on obtient les
solutions de (h).
Exemple : l'oscillateur libre
On nomme ainsi les dispositifs physiques conduisant à une équation différentielle
linéaire homogène d’ordre 2. En voici deux exemples (on note comme d’habitude ˙
x
et ¨
x les dérivées par rapport au temps).
1)
x
m
0
Considérons une masse m suspendue à un ressort de raideur k. Si l’on
écarte la masse de sa position d’équilibre (dans le sens vertical), son
mouvement est régi par l’équation différentielle m¨ x + c ˙
x + kx = 0, où c
est un coefficient d’amortissement (dû par exemple au frottement).
2) Quand on laisse se décharger un condensateur de capacité C dans une bobine
d’inductance L et de résistance R, sa charge q(t) satisfait l’équation différentielle
L¨ q + R ˙
q + 1
C
q = 0 (l’intensité dans le circuit est ˙
q(t)).
Décrivons le comportement des solutions en prenant l’exemple du pendule d’équation
(h) m¨ x + c ˙
x + kx = 0. L’équation caractéristique est mz
2 + cz + k = 0.
Oscillations non amorties : c = 0 . L’équation (h) s’écrit ¨
x + (k/m)x = 0 et
les solutions sont les fonctions x(t) = λ 1 cos ωt + λ 2 sin ωt, où ω =
k/m. On peut
aussi écrire les solutions sous la forme
x(t) = a cos(ωt − ϕ), en posant a =
λ 2
1 + λ 2
2 et tan ϕ = λ 2 /λ 1 .
x
t
1
π
x 0
Le mouvement est périodique, de période T = 2π/ω : pour une
masse donnée, la fréquence 1/T augmente avec la raideur k du
ressort. La figure montre des solutions pour un même déplacement initial x(0) = x 0 à partir de l’équilibre avec différentes
vitesses initiales ˙
x(0) = v 0 , pente de la tangente en t = 0.
Oscillations amorties : 0 < c 2 < 4mk . Les racines de l’équation caractéristique sont les nombres complexes −r ± i ω, où r = c/(2m) et ω = (1/2m)
√
4mk − c 2 .
Les solutions sont données par
x(t) = ae
−rt cos(ωt − ϕ), où a > 0 et ϕ sont des constantes.
x
t
1
π
x 0
Le mouvement consiste en des oscillations d’amplitudes de
plus en plus petites, les positions extrêmes étant limitées par
les fonctions ±ae
−rt qui tendent vers 0 quand t tend vers
+∞ : la masse revient en oscillant vers sa position d’équilibre.
454 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES LIN ´
EAIRES D’ORDRE 2