2. Équations différentielles linéaires d'ordre 2
Nous allons étudier les équations différentielles linéaires faisant intervenir la fonction
x ainsi que ses deux premières dérivées x
et x
. Ce sont des équations très courantes.
2.1 Propriétés générales
Définitions
Une équation différentielle linéaire d’ordre 2 est de la forme x
+ p(t)x
+ q(t)x = b(t),
où p(t), q(t) et b(t) sont des fonctions continues sur un même intervalle I . La
fonction b s’appelle le second membre de l’équation. L’équation x
+p(t)x
+q(t)x = 0
est l’équation homogène associée.
Propriétés des solutions
1) Soit x(t) une solution de l’équation homogène (h) x
+p(t)x
+q(t)x = 0. Posons
y(t) = λx(t), où λ est un nombre. On a
y
+ p(t)y
+ q(t)y = λx
+ λp(t)x
+ λx = λ
x
+ p(t)x
+ q(t)x
= 0 ,
donc la fonction y(t) est solution de (h).
2) Supposons que x 1 (t) et x 2 (t) sont des solutions de (h). Alors la fonction
y(t) = x 1 (t) + x 2 (t) est solution de (h), car
y
+p(t)y
+q(t)y =
x
1 +p(t)x
1 +q(t)x 1
+
x
2 +p(t)x
2 +q(t)x 2
= 0 .
3) Supposons que s(t) est une solution de l’équation (e) x
+p(t)x
+q(t)x = b(t).
Pour qu’une fonction x(t) soit aussi une solution de (e), il faut et il suffit que
l’on ait x
+ p(t)x
+ q(t)x = s
+ p(t)s
+ q(t)s, c’est-à-dire
(x−s)
+ p(t)(x−s)
+ q(t)(x−s) = 0 ,
ce qui veut dire que u = x−s est solution de (h). Les solutions de (e) sont donc
les fonctions x(t) = u(t) + s(t), où u(t) est solution de (h).
Théorème
a) Soient x 1 (t) et x 2 (t) des solutions de l’équation homogène (h) x
+p(t)x
+q(t)x = 0.
® Pour tous nombres λ 1 , λ 2 , la fonction λ 1 x 1 (t) + λ 2 x 2 (t) est solution de (h).
® Si les fonctions x 1 et x 2 ne sont pas proportionnelles, alors les solutions de (h) sont
les fonctions u(t) = λ 1 x 1 (t) + λ 2 x 2 (t), où λ 1 et λ 2 sont des nombres quelconques.
b) Supposons que s(t) est une solution de l’équation complète (e) x
+p(t)x
+q(t)x = b(t).
Alors les solutions de (e) sont les fonctions u(t) + s(t), où u(t) est une solution
quelconque de l’équation homogène (h).
c) Soient t 0 ∈ I et x 0 , v 0 des nombres quelconques. Il y a une unique solution s(t) de (e)
satisfaisant les conditions initiales s(t 0 ) = x 0 , s
(t 0 ) = v 0 .
450 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES LIN ´
EAIRES D’ORDRE 2
Nous allons étudier les équations différentielles linéaires faisant intervenir la fonction
x ainsi que ses deux premières dérivées x
et x
. Ce sont des équations très courantes.
2.1 Propriétés générales
Définitions
Une équation différentielle linéaire d’ordre 2 est de la forme x
+ p(t)x
+ q(t)x = b(t),
où p(t), q(t) et b(t) sont des fonctions continues sur un même intervalle I . La
fonction b s’appelle le second membre de l’équation. L’équation x
+p(t)x
+q(t)x = 0
est l’équation homogène associée.
Propriétés des solutions
1) Soit x(t) une solution de l’équation homogène (h) x
+p(t)x
+q(t)x = 0. Posons
y(t) = λx(t), où λ est un nombre. On a
y
+ p(t)y
+ q(t)y = λx
+ λp(t)x
+ λx = λ
x
+ p(t)x
+ q(t)x
= 0 ,
donc la fonction y(t) est solution de (h).
2) Supposons que x 1 (t) et x 2 (t) sont des solutions de (h). Alors la fonction
y(t) = x 1 (t) + x 2 (t) est solution de (h), car
y
+p(t)y
+q(t)y =
x
1 +p(t)x
1 +q(t)x 1
+
x
2 +p(t)x
2 +q(t)x 2
= 0 .
3) Supposons que s(t) est une solution de l’équation (e) x
+p(t)x
+q(t)x = b(t).
Pour qu’une fonction x(t) soit aussi une solution de (e), il faut et il suffit que
l’on ait x
+ p(t)x
+ q(t)x = s
+ p(t)s
+ q(t)s, c’est-à-dire
(x−s)
+ p(t)(x−s)
+ q(t)(x−s) = 0 ,
ce qui veut dire que u = x−s est solution de (h). Les solutions de (e) sont donc
les fonctions x(t) = u(t) + s(t), où u(t) est solution de (h).
Théorème
a) Soient x 1 (t) et x 2 (t) des solutions de l’équation homogène (h) x
+p(t)x
+q(t)x = 0.
® Pour tous nombres λ 1 , λ 2 , la fonction λ 1 x 1 (t) + λ 2 x 2 (t) est solution de (h).
® Si les fonctions x 1 et x 2 ne sont pas proportionnelles, alors les solutions de (h) sont
les fonctions u(t) = λ 1 x 1 (t) + λ 2 x 2 (t), où λ 1 et λ 2 sont des nombres quelconques.
b) Supposons que s(t) est une solution de l’équation complète (e) x
+p(t)x
+q(t)x = b(t).
Alors les solutions de (e) sont les fonctions u(t) + s(t), où u(t) est une solution
quelconque de l’équation homogène (h).
c) Soient t 0 ∈ I et x 0 , v 0 des nombres quelconques. Il y a une unique solution s(t) de (e)
satisfaisant les conditions initiales s(t 0 ) = x 0 , s
(t 0 ) = v 0 .
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