Supposons 0 < x 0 < k/a . On a alors 0 < s(t) < k/a pour tout t, c’est-à-dire
k−as(t) > 0. Il vient
s(t)
k−as(t)
= Ce
kt , d’où
s(t) =
Ck
Ca + e
−kt
, pour tout t ∈ R.
Quand t va de −∞ à +∞, e
−kt décroît de +∞ à 0, donc s(t) croît de 0 jusqu’à
k/a = lim
t→+∞
s(t).
Supposons x 0 > k/a . On a s(t)>k/a pour tout t, donc k−as(t) <0 et |k−as(t)|=
as(t)−k. On obtient ainsi
s(t) =
Ck
Ca−e
−kt
, pour t > − 1
k
ln(Ca).
Puisque Ca=
ax 0
ax 0 −k
et ax 0 −k >0, on a Ca>1 et la borne α=− 1
k
ln(Ca) de l’intervalle de définition est un nombre négatif : la solution est donc bien définie en t = 0.
Quand t tend vers α (par valeurs supérieures), le dénominateur tend vers 0 et
s(t) tend vers +∞ : la solution a une asymptote verticale en α. Quand t tend
vers +∞, e
−kt tend vers 0 et s(t) tend vers k/a.
Dans le domaine x > 0, toutes les solutions ont pour limite k/a quand t tend vers
+∞ : la population tend vers l’effectif stable de k/a individus, comme nous l’avions
observé sur le champ de directions page 442.
Puisque l’équation logistique est autonome, si l’on translate le graphe d’une solution
parallèlement à l’axe du temps, on obtient encore le graphe d’une solution.
t
t
x 0
x 0
k/a
k/a
x
x
O
E
M
α
Sur la figure de droite, l’effectif x(t) est représenté par un point M sur une
demi-droite d’origine O. Si l’on se donne la position initiale, le point M décrit une
trajectoire sur cette demi-droite. On voit qu’il y a trois trajectoires possibles :
® Si la position initiale est le point d’équilibre E d’abscisse k/a, alors M reste en
E : l’ensemble {E} est une trajectoire.
® L’intervalle T − = ]O;E[ est la trajectoire correspondant à une position initiale située
entre E et l’origine. Un point qui décrit cette trajectoire tend vers l’équilibre E
quand le temps tend vers l’infini.
® Pour une position initiale située au delà de E , la trajectoire est la demi-droite ouverte limitée par E . Sur cette trajectoire, le point tend aussi vers l’équilibre quand
le temps tend vers l’infini.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 449