b) Les solutions non constantes vérifient dx
dt
1
f
x(t)
= g(t) ou encore
dx
f (x)
= g(t) dt
La solution s(t) telle s(t 0 ) = x 0 s’obtient en intégrant chaque membre :
s(t)
x 0
dx
f (x)
=
t
t 0
g(τ ) dτ ,
ce qui exprime la relation entre s(t) et t.
Exemple : l'équation logistique. Il s’agit de l’équation autonome (page 441)
x
= kx − ax
2 , où k et a sont des nombres positifs.
Menons la résolution dans le domaine x > 0.
Recherche des solutions constantes. La valeur d’une solution constante est
un nombre m > 0 vérifiant km − am
2 = 0, donc m = k/a : il y a une seule solution
constante, définie par x(t) = k/a.
Recherche des autres solutions. Puisque les graphes de deux solutions différentes n’ont aucun point commun, les solutions non constantes ne prennent pas la valeur k/a : leur graphe est donc contenu dans l’un des domaines 0k/a.
Soit s(t) la solution telle que s(0) = x 0 , où x 0 est un nombre positif différent de
k/a. Si l’on a 0 < x 0 < k/a, alors le graphe de s est dans le domaine 0 < x < k/a ;
si x 0 > k/a, le graphe de s est dans le domaine x > k/a.
En écrivant l’équation sous la forme
dx
kx−ax
2
= dt, la fonction s(t) est déterminée
par la relation
(1)
s(t)
x 0
dx
kx − ax
2
=
t
0
dτ = t
Pour calculer l’intégrale, cherchons les nombres α et β tels que
1
x(k − ax)
= α
x
+
β
k − ax
·
En identifiant, on trouve α = 1/k, β = a/k et
1
x(k − ax)
= 1
k
1
x
+
a
k − ax
Il vient
dx
kx − ax
2
= 1
k
ln x − ln |k − ax|
= 1
k
ln
x
|k − ax|
et (1) s’écrit
1
k
ln
s(t)
|k−as(t)|
− ln
x 0
|k−ax 0 |
= 1
k
ln
s(t)
|k−as(t)|
x 0
|k−ax 0 |
−1
= t
En posant C =
x 0
|k−ax 0 |
> 0, on obtient
(2)
s(t)
|k−as(t)|
= Ce
kt
448 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES DU PREMIER ORDRE