le domaine x = 0, les solutions sont
x(t) =
1
t
2 + C
, avec C constant.
Nous avons déjà remarqué que le sens de variation des solutions d’une équation différentielle est donné par le signe de f (t,x) : ici, les solutions sont croissantes pour t<0 et
décroissantes pour t>0. L’intervalle de définition d’une solution dépend du signe de C .
Supposons C > 0 . La solution s(t) = 1
t
2 + C
est positive, définie sur R et tend vers
0 quand t tend vers ±∞ ; le maximum est atteint en t = 0 (figures ci-dessous).
Supposons C < 0 . Posons C = −a
2 , avec a > 0. Rappelons que, par définition, une
solution est toujours définie sur un intervalle. La formule de résolution détermine
trois intervalles de définition : I 1 = ]−a, a[, I 2 = ]−∞, −a[ et I 3 = ]a, +∞[, donc
trois types de solutions.
® Posons s 0 (t) =
1
t
2 − a
2
pour t ∈]−a, a[. Cette solution s 0 est à valeurs négatives
et possède des asymptotes verticales en t = ±a : on a lim
t→a
s 0 (t) = lim
t→−a
s 0 (t) = −∞.
® Posons s + (t) =
1
t
2 − a
2
pour t ∈]a, +∞[. C’est une solution à valeurs positives,
décroissante et de limite 0 quand t tend vers +∞ ; puisque s + (t) tend vers +∞
quand t tend vers a par valeurs supérieures, cette solution a une asymptote
verticale en a.
® De même, la fonction s − (t) =
1
t
2 − a
2
pour t ∈]−∞, −a[, est une solution à
valeurs positives, croissante de 0 à +∞.
La seule solution qui satisfait une condition initiale x(t 0 ) = 0 est la fonction nulle. Si
x 0 =0, la solution telle que x(t 0 )=x 0 s’obtient en calculant C pour que x 0 = 1
t
2
0 + C
.
−a
a
−a
a
s 0 (t)
s + (t)
s(t)
t
t
t
t
s − (t)
En observant simplement le champ de directions, il n’est pas commode de deviner
les solutions s + et s − .
Résolution d'une équation x = f (x)g(t)
Supposons que, dans l’équation, les fonctions f et g ont des dérivées continues.
a) On commence par chercher les solutions constantes. La dérivée d’une telle solution
x(t) est nulle, donc en appelant m sa valeur, il vient 0=x
(t)=f
x(t)
g(t)=f (m)g(t)
pour tout t. Si g n’est pas la fonction nulle, on a donc f (m) = 0.
Toute solution constante a pour valeur un nombre m tel que f (m) = 0.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 447
x(t) =
1
t
2 + C
, avec C constant.
Nous avons déjà remarqué que le sens de variation des solutions d’une équation différentielle est donné par le signe de f (t,x) : ici, les solutions sont croissantes pour t<0 et
décroissantes pour t>0. L’intervalle de définition d’une solution dépend du signe de C .
Supposons C > 0 . La solution s(t) = 1
t
2 + C
est positive, définie sur R et tend vers
0 quand t tend vers ±∞ ; le maximum est atteint en t = 0 (figures ci-dessous).
Supposons C < 0 . Posons C = −a
2 , avec a > 0. Rappelons que, par définition, une
solution est toujours définie sur un intervalle. La formule de résolution détermine
trois intervalles de définition : I 1 = ]−a, a[, I 2 = ]−∞, −a[ et I 3 = ]a, +∞[, donc
trois types de solutions.
® Posons s 0 (t) =
1
t
2 − a
2
pour t ∈]−a, a[. Cette solution s 0 est à valeurs négatives
et possède des asymptotes verticales en t = ±a : on a lim
t→a
s 0 (t) = lim
t→−a
s 0 (t) = −∞.
® Posons s + (t) =
1
t
2 − a
2
pour t ∈]a, +∞[. C’est une solution à valeurs positives,
décroissante et de limite 0 quand t tend vers +∞ ; puisque s + (t) tend vers +∞
quand t tend vers a par valeurs supérieures, cette solution a une asymptote
verticale en a.
® De même, la fonction s − (t) =
1
t
2 − a
2
pour t ∈]−∞, −a[, est une solution à
valeurs positives, croissante de 0 à +∞.
La seule solution qui satisfait une condition initiale x(t 0 ) = 0 est la fonction nulle. Si
x 0 =0, la solution telle que x(t 0 )=x 0 s’obtient en calculant C pour que x 0 = 1
t
2
0 + C
.
−a
a
−a
a
s 0 (t)
s + (t)
s(t)
t
t
t
t
s − (t)
En observant simplement le champ de directions, il n’est pas commode de deviner
les solutions s + et s − .
Résolution d'une équation x = f (x)g(t)
Supposons que, dans l’équation, les fonctions f et g ont des dérivées continues.
a) On commence par chercher les solutions constantes. La dérivée d’une telle solution
x(t) est nulle, donc en appelant m sa valeur, il vient 0=x
(t)=f
x(t)
g(t)=f (m)g(t)
pour tout t. Si g n’est pas la fonction nulle, on a donc f (m) = 0.
Toute solution constante a pour valeur un nombre m tel que f (m) = 0.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 447