t est solution de l’équation différentielle
R
dq
dt
+
q
C
= E m sin ωt
Résolution de l'équation homogène q
=
−1
RC
q . Les solutions sont les fonctions
K exp
−t
RC
, où K est une constante quelconque.
Recherche d'une solution particulière. Elle est de la forme s(t) = λ(t) exp
−t
RC
,
où λ
(t)exp
−t
RC
=
E m
R
sinωt. Il vient λ
(t) =
E m
R
exp
t
RC
sinωt. Les primitives
λ(t) sont de la forme (page 321)
a sin ωt + b cos ωt
exp
t
RC
En identifiant, on obtient a =
E m C
1 + (RCω)
2
et b = −
E m C(RCω)
1 + (RCω)
2
et la fonction
s(t) = a sin ωt + b cos ω est donc une solution particulière.
La solution générale de l’équation est ainsi q(t) = K exp
−t
RC
+ a sin ωt + b cos ωt.
La condition initiale q(0) = 0 s’écrit 0 = K + b, d’où la fonction de charge du
condensateur :
q(t) =
E m C
1 + (RCω)
2
RCω exp
−t
RC
+ sin ωt − RCω cos ωt
t
q(t)
Comme les valeurs de exp(−t/RC) deviennent en général rapidement négligeables, on voit s’installer un régime permanent
quasi-périodique, de quasi-période celle du générateur.
1.4 Équations différentielles à variables séparées
Définition
Si f et g sont des fonctions, une équation différentielle de la forme x
= f (x)g(t)
est dite à variables séparées.
Une équation autonome est à variables séparées.
Exemple. Résolvons l’équation différentielle x
= −2tx
2 dont nous avons dessiné
le champ de directions page 440. La fonction nulle : x(t) = 0 quel que soit t, est une
solution. Cherchons maintenant les solutions dans le domaine x = 0.
L’équation s’y écrit
x
(t)
x(t)
2
= −2t. Puisqu’on a
−x
(t)
x(t)
2
= d
dt
1
x(t)
, il vient
d
dt
1
x(t)
= 2t = d
dt
(t
2 ), donc 1
x(t)
= t
2 + C , où C est une constante. Ainsi, dans
446 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES DU PREMIER ORDRE