Il suffit ainsi de calculer une primitive λ(t) =
t
b(τ ) exp
−A(τ )
dτ et la fonction
λ(t)u(t) sera une solution particulière de l’équation x
= a(t)x + b(t).
Cette méthode de recherche d’une solution particulière s’appelle la méthode de variation
de la constante.
Détermination d'une solution au moyen des conditions initiales
Donnons-nous des conditions initiales t 0 ∈ I et x 0 quelconque.
Première méthode. Les solutions s’écrivent x(t) = K exp
A(t)
+ s(t), où s(t) est
une solution particulière et K un nombre quelconque. Pour que x(t 0 ) = x 0 , il suffit
donc de choisir le nombre K tel que x 0 = K exp
A(t 0 )
+ s(t 0 ).
Seconde méthode. Choisissons pour A la primitive de a(t) telle que A(t 0 ) = 0.
® Si l’on pose λ(t)=
t
t 0
b(τ ) exp
−A(τ )
dτ , alors λ(t 0 )=0 et la solution particulière
s(t) = λ(t) exp
A(t)
vérifie s(t 0 ) = 0.
® On sait que les solutions sont les fonctions x(t) = K exp
A(t)
+ s(t), où K est
une constante. Puisque A(t 0 ) = s(t 0 ) = 0, il vient x(t 0 ) = K .
Puisque A(t) =
t
t 0
a(τ ) dτ , la solution telle que x(t 0 ) = x 0 est donc
x(t) = x 0 exp
A(t)
+ λ(t) exp
A(t)
, où λ(t) =
t
t 0
b(τ ) exp
−A(τ )
dτ
Exemple 1. Le refroidissement d’une quantité de matière dans un courant d’air
est proportionnel à la différence de température avec l’air. Soit θ la température de
l’air, maintenue constante. Supposons que le corps est à la température initiale T 0 .
Si l’on note T (t) sa température au bout d’un temps t, on a donc
T
(t) = −a
T (t) − θ
, où a est un coefficient positif.
En posant x(t) = T (t) − θ, il vient x
(t) = T
(t) = −a
T (t) − θ
= −ax(t), donc
x(t) = λe
−at , où λ est une constante. Puisque T (t) = x(t) + θ, on obtient une solution
de la forme T (t) = λe
−at + θ.
20
40
60
80
100
3
2
1
0
t
x
Supposons que l’air est à 20 degrés et que le corps passe de
100 degrés à 60 degrés en un quart d’heure. En comptant le
temps en heures, on a donc T (0) = 100 et T (1/4) = 60.
Il vient 100 = T (0) = λ + 20, d’où λ = 80, puis 60 = T (1/4) =
λe
−a/4 + 20 = 80e
−a/4 + 20, d’où e
−a/4 = 1/2 et a = 4 ln 2.
Finalement, la loi de refroidissement du corps est
T (t) = 80e
−(4 ln 2)t + 20, où t est compté en heures
Exemple 2. Considérons un circuit électrique formé d’une résistance R, d’un condensateur de capacité C et d’un générateur de force électromotrice E(t) = E m sin ωt
placés en série. Si le condensateur est initialement déchargé, sa charge q(t) à l’instant
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 445
t
b(τ ) exp
−A(τ )
dτ et la fonction
λ(t)u(t) sera une solution particulière de l’équation x
= a(t)x + b(t).
Cette méthode de recherche d’une solution particulière s’appelle la méthode de variation
de la constante.
Détermination d'une solution au moyen des conditions initiales
Donnons-nous des conditions initiales t 0 ∈ I et x 0 quelconque.
Première méthode. Les solutions s’écrivent x(t) = K exp
A(t)
+ s(t), où s(t) est
une solution particulière et K un nombre quelconque. Pour que x(t 0 ) = x 0 , il suffit
donc de choisir le nombre K tel que x 0 = K exp
A(t 0 )
+ s(t 0 ).
Seconde méthode. Choisissons pour A la primitive de a(t) telle que A(t 0 ) = 0.
® Si l’on pose λ(t)=
t
t 0
b(τ ) exp
−A(τ )
dτ , alors λ(t 0 )=0 et la solution particulière
s(t) = λ(t) exp
A(t)
vérifie s(t 0 ) = 0.
® On sait que les solutions sont les fonctions x(t) = K exp
A(t)
+ s(t), où K est
une constante. Puisque A(t 0 ) = s(t 0 ) = 0, il vient x(t 0 ) = K .
Puisque A(t) =
t
t 0
a(τ ) dτ , la solution telle que x(t 0 ) = x 0 est donc
x(t) = x 0 exp
A(t)
+ λ(t) exp
A(t)
, où λ(t) =
t
t 0
b(τ ) exp
−A(τ )
dτ
Exemple 1. Le refroidissement d’une quantité de matière dans un courant d’air
est proportionnel à la différence de température avec l’air. Soit θ la température de
l’air, maintenue constante. Supposons que le corps est à la température initiale T 0 .
Si l’on note T (t) sa température au bout d’un temps t, on a donc
T
(t) = −a
T (t) − θ
, où a est un coefficient positif.
En posant x(t) = T (t) − θ, il vient x
(t) = T
(t) = −a
T (t) − θ
= −ax(t), donc
x(t) = λe
−at , où λ est une constante. Puisque T (t) = x(t) + θ, on obtient une solution
de la forme T (t) = λe
−at + θ.
20
40
60
80
100
3
2
1
0
t
x
Supposons que l’air est à 20 degrés et que le corps passe de
100 degrés à 60 degrés en un quart d’heure. En comptant le
temps en heures, on a donc T (0) = 100 et T (1/4) = 60.
Il vient 100 = T (0) = λ + 20, d’où λ = 80, puis 60 = T (1/4) =
λe
−a/4 + 20 = 80e
−a/4 + 20, d’où e
−a/4 = 1/2 et a = 4 ln 2.
Finalement, la loi de refroidissement du corps est
T (t) = 80e
−(4 ln 2)t + 20, où t est compté en heures
Exemple 2. Considérons un circuit électrique formé d’une résistance R, d’un condensateur de capacité C et d’un générateur de force électromotrice E(t) = E m sin ωt
placés en série. Si le condensateur est initialement déchargé, sa charge q(t) à l’instant
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 445