Démonstration. Soit u(t) une fonction dérivable sur I . Posons y(t)=u(t)exp
−A(t)
, de sorte
que u(t)=y(t)exp
A(t)
. Puisque exp
A(t)
a pour dérivée A
(t)exp
A(t)
=a(t)exp
A(t)
, on a
u
(t) = y
(t) exp
A(t)
+ a(t)y(t) exp
A(t)
= y
(t) exp
A(t)
+ a(t)u(t) .
La fonction u est donc solution de x
= a(t)x si et seulement si y
(t) = 0 pour tout t ∈ I ,
c’est-à-dire si et seulement si y est constante sur I .
Remarque
Cette résolution s’applique à l’équation z
= az, où a est un nombre complexe :
puisque la dérivée de z(t) = e
at est z
(t) = ae
at = az(t) (proposition page 321), la
démonstration ci-dessus montre que les solutions à valeurs complexes de l’équation
z
= az sont les fonctions t → ke
at , où k est un nombre complexe quelconque.
Résolution de l'équation complète x = a(t)x + b(t)
Proposition. Si s(t) est une solution de l’équation x
= a(t)x + b(t), alors les solutions
de cette équation sont les fonctions x(t) = K exp
A(t)
+ s(t), où A(t) est une primitive
de la fonction a et K une constante quelconque.
Les solutions de x
=a(t)x+b(t) s’obtiennent en ajoutant à une solution particulière
s(t), une solution quelconque de l’équation homogène x
= a(t)x.
Démonstration. Soit x(t) une fonction dérivable. Posons y(t) = x(t) − s(t), donc x(t) =
y(t) + s(t). On a s
(t) − a(t)s(t) = b(t), donc
y
(t) − a(t)y(t) = x
(t) − s
(t) − a(t)x(t) + a(t)s(t) = x
(t) − a(t)x(t) − b(t)
Pour que x(t) soit solution de l’équation x
=a(t)x+b(t), il faut et il suffit que y
(t)−a(t)y(t)=0
quel que soit t ∈ I , c’est-à-dire que y soit solution de l’équation homogène.
D’après la proposition, il suffit de trouver une solution particulière s(t) de l’équation pour en déduire toutes les solutions. Par exemple, pour l’équation x
= x−t de
l’exemple 1 page 440, les solutions sont toutes les fonctions x(t) = Ke
t + t + 1, car
s(t) = t+1 est une solution particulière.
Recherche d'une solution particulière. Supposons qu’on a calculé une primitive A(t) de la fonction a(t), donc aussi une solution non nulle u(t) de l’équation
homogène. Cherchons une solution s(t) de x
= a(t)x + b(t) sous la forme
s(t) = λ(t)u(t) , où λ(t) est une fonction à déterminer.
On a u
(t) = a(t)u(t) donc
s
(t) = λ(t)u
(t) + λ
(t)u(t) = λ(t)a(t)u(t) + λ
(t)u(t)
a(t)s(t) + b(t) = a(t)λ(t)u(t) + b(t)
Pour que s
(t) = a(t)s(t) + b(t), il faut et il suffit que λ
(t)u(t) = b(t). Puisque
1/u(t) = exp
−A(t)
,
cette condition s’écrit
λ
(t) = b(t) exp
−A(t)
444 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES DU PREMIER ORDRE
−A(t)
, de sorte
que u(t)=y(t)exp
A(t)
. Puisque exp
A(t)
a pour dérivée A
(t)exp
A(t)
=a(t)exp
A(t)
, on a
u
(t) = y
(t) exp
A(t)
+ a(t)y(t) exp
A(t)
= y
(t) exp
A(t)
+ a(t)u(t) .
La fonction u est donc solution de x
= a(t)x si et seulement si y
(t) = 0 pour tout t ∈ I ,
c’est-à-dire si et seulement si y est constante sur I .
Remarque
Cette résolution s’applique à l’équation z
= az, où a est un nombre complexe :
puisque la dérivée de z(t) = e
at est z
(t) = ae
at = az(t) (proposition page 321), la
démonstration ci-dessus montre que les solutions à valeurs complexes de l’équation
z
= az sont les fonctions t → ke
at , où k est un nombre complexe quelconque.
Résolution de l'équation complète x = a(t)x + b(t)
Proposition. Si s(t) est une solution de l’équation x
= a(t)x + b(t), alors les solutions
de cette équation sont les fonctions x(t) = K exp
A(t)
+ s(t), où A(t) est une primitive
de la fonction a et K une constante quelconque.
Les solutions de x
=a(t)x+b(t) s’obtiennent en ajoutant à une solution particulière
s(t), une solution quelconque de l’équation homogène x
= a(t)x.
Démonstration. Soit x(t) une fonction dérivable. Posons y(t) = x(t) − s(t), donc x(t) =
y(t) + s(t). On a s
(t) − a(t)s(t) = b(t), donc
y
(t) − a(t)y(t) = x
(t) − s
(t) − a(t)x(t) + a(t)s(t) = x
(t) − a(t)x(t) − b(t)
Pour que x(t) soit solution de l’équation x
=a(t)x+b(t), il faut et il suffit que y
(t)−a(t)y(t)=0
quel que soit t ∈ I , c’est-à-dire que y soit solution de l’équation homogène.
D’après la proposition, il suffit de trouver une solution particulière s(t) de l’équation pour en déduire toutes les solutions. Par exemple, pour l’équation x
= x−t de
l’exemple 1 page 440, les solutions sont toutes les fonctions x(t) = Ke
t + t + 1, car
s(t) = t+1 est une solution particulière.
Recherche d'une solution particulière. Supposons qu’on a calculé une primitive A(t) de la fonction a(t), donc aussi une solution non nulle u(t) de l’équation
homogène. Cherchons une solution s(t) de x
= a(t)x + b(t) sous la forme
s(t) = λ(t)u(t) , où λ(t) est une fonction à déterminer.
On a u
(t) = a(t)u(t) donc
s
(t) = λ(t)u
(t) + λ
(t)u(t) = λ(t)a(t)u(t) + λ
(t)u(t)
a(t)s(t) + b(t) = a(t)λ(t)u(t) + b(t)
Pour que s
(t) = a(t)s(t) + b(t), il faut et il suffit que λ
(t)u(t) = b(t). Puisque
1/u(t) = exp
−A(t)
,
cette condition s’écrit
λ
(t) = b(t) exp
−A(t)
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EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES DU PREMIER ORDRE