Dans ce cas, les graphes des solutions forment une partition du domaine de l’équation :
c’est ce qu’on voit sur les figures précédentes. À chaque fois que nous pourrons calculer explicitement les solutions d’une équation différentielle, nous vérifierons toutes ces
propriétés.
Définition
Une équation différentielle de la forme x
= f (x) est dite autonome.
Si l’on imagine que t représente le temps, une équation différentielle autonome exprime
que la relation entre la fonction x et sa dérivée ne dépend pas du temps. Dans les
applications, on rencontre de nombreuses équations différentielles autonomes. L’équation
logistique étudiée dans le paragraphe précédent est autonome.
Proposition. Si x(t) est solution d’une équation différentielle autonome, alors pour tout
nombre a, la fonction y(t) = x(t + a) est solution.
Démonstration. On a en effet y
(t) = x
(t + a) = f
x(t + a)
= f
y(t)
, donc la fonction y
est solution de l’équation différentielle.
t
x(t)
−a
O
x(t + a)
Traduction géométrique : Si x(t) est une fonction et a un
nombre, le graphe de la fonction t → x(t + a) s’obtient en translatant le graphe de x(t) de la quantité −a parallèlement à l’axe des
t. La propriété ci-dessus se formule donc de la manière suivante.
Si l’équation est autonome, alors en translatant parallèlement à l’axe des t le
graphe d’une solution, on obtient encore le graphe d’une solution.
1.3 Équations différentielles linéaires
Définitions
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est de la forme x
= a(t)x + b(t),
où a(t) et b(t) sont des fonctions continues sur un même intervalle I . L’équation différentielle x
= a(t)x s’appelle l’équation homogène associée et la fonction b
s’appelle le second membre.
Le domaine de l’équation est l’ensemble des points (t, x) tels que t ∈ I .
Résolution de l'équation homogène x = a(t)x
Soit A(t) une primitive de a(t) sur l’intervalle I .
Proposition. Les solutions de l’équation homogène x
= a(t)x sont les fonctions u(t) =
K exp
A(t)
, où K est un nombre quelconque.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 443
c’est ce qu’on voit sur les figures précédentes. À chaque fois que nous pourrons calculer explicitement les solutions d’une équation différentielle, nous vérifierons toutes ces
propriétés.
Définition
Une équation différentielle de la forme x
= f (x) est dite autonome.
Si l’on imagine que t représente le temps, une équation différentielle autonome exprime
que la relation entre la fonction x et sa dérivée ne dépend pas du temps. Dans les
applications, on rencontre de nombreuses équations différentielles autonomes. L’équation
logistique étudiée dans le paragraphe précédent est autonome.
Proposition. Si x(t) est solution d’une équation différentielle autonome, alors pour tout
nombre a, la fonction y(t) = x(t + a) est solution.
Démonstration. On a en effet y
(t) = x
(t + a) = f
x(t + a)
= f
y(t)
, donc la fonction y
est solution de l’équation différentielle.
t
x(t)
−a
O
x(t + a)
Traduction géométrique : Si x(t) est une fonction et a un
nombre, le graphe de la fonction t → x(t + a) s’obtient en translatant le graphe de x(t) de la quantité −a parallèlement à l’axe des
t. La propriété ci-dessus se formule donc de la manière suivante.
Si l’équation est autonome, alors en translatant parallèlement à l’axe des t le
graphe d’une solution, on obtient encore le graphe d’une solution.
1.3 Équations différentielles linéaires
Définitions
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est de la forme x
= a(t)x + b(t),
où a(t) et b(t) sont des fonctions continues sur un même intervalle I . L’équation différentielle x
= a(t)x s’appelle l’équation homogène associée et la fonction b
s’appelle le second membre.
Le domaine de l’équation est l’ensemble des points (t, x) tels que t ∈ I .
Résolution de l'équation homogène x = a(t)x
Soit A(t) une primitive de a(t) sur l’intervalle I .
Proposition. Les solutions de l’équation homogène x
= a(t)x sont les fonctions u(t) =
K exp
A(t)
, où K est un nombre quelconque.
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