x > 45. Voici des valeurs de p(m), le champ de directions et quelques solutions :
m
5 10 20 30 40 45
50 60
p(m) 8 14 20 18 8
0 −10 −36
0
20
40
60
80
20 40 60 80 t
x
On observe que, mis à part la solution nulle, toutes les solutions x(t) ont pour
limite 45 quand t tend vers +∞ : quel que soit l’effectif initial, pourvu qu’il soit
non nul, la population tend vers la valeur stable de 45 individus. Nous résoudrons
analytiquement l’équation page 448.
1.2 Propriétés générales des solutions
Définition
Une solution de l’équation différentielle x
= f (t, x) est une fonction x(t) dérivable
et définie sur un intervalle ouvert J , telle que x
(t) = f
t, x(t)
pour tout t ∈ J .
Pour déterminer une solution x(t), il suffit le plus souvent de choisir un nombre t 0
et la valeur x 0 de la solution pour t = t 0 : on dit que (t 0 ,x 0 ) est une condition initiale.
Notons D le domaine de l’équation x
= f (t, x), c’est-à-dire le domaine de définition
de la fonction f , et supposons f continue sur D.
Théorème
a) Si deux solutions passent par un même point, leurs graphes sont tangents en ce point.
b) Supposons que la fonction f a des dérivées partielles
∂f
∂x
et
∂f
∂t
continues. Pour tout
point (t 0 , x 0 ) de D, il existe une unique solution x(t) telle que x(t 0 ) = x 0 .
Une solution est donc entièrement déterminée par sa condition initiale.
c) Le graphe de chaque solution va jusqu’au bord du domaine D (éventuellement à l’infini).
La propriété (a) est évidente : si A=(τ,a) est un point commun aux graphes de deux solutions x 1 et x 2 , la tangente en A au graphe de x 1 a pour pente f
τ,a) et il en va de même
de la tangente en A au graphe de x 2 : ces deux graphes sont donc tangents au point A.
L’énoncé (b) affirme deux propriétés :
® Il existe toujours une solution x(t) satisfaisant la condition initiale x(t 0 ) = x 0 ,
® et cette solution est unique : cela veut dire que si x 1 (t) et x 2 (t) sont des solutions
prenant la même valeur x 0 en t = t 0 , alors on a x 1 (t) = x 2 (t) quel que soit t.
Conséquence. Si f a des dérivées partielles continues dans D, alors les graphes de
deux solutions différentes n’ont aucun point commun.
442 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES DU PREMIER ORDRE
m
5 10 20 30 40 45
50 60
p(m) 8 14 20 18 8
0 −10 −36
0
20
40
60
80
20 40 60 80 t
x
On observe que, mis à part la solution nulle, toutes les solutions x(t) ont pour
limite 45 quand t tend vers +∞ : quel que soit l’effectif initial, pourvu qu’il soit
non nul, la population tend vers la valeur stable de 45 individus. Nous résoudrons
analytiquement l’équation page 448.
1.2 Propriétés générales des solutions
Définition
Une solution de l’équation différentielle x
= f (t, x) est une fonction x(t) dérivable
et définie sur un intervalle ouvert J , telle que x
(t) = f
t, x(t)
pour tout t ∈ J .
Pour déterminer une solution x(t), il suffit le plus souvent de choisir un nombre t 0
et la valeur x 0 de la solution pour t = t 0 : on dit que (t 0 ,x 0 ) est une condition initiale.
Notons D le domaine de l’équation x
= f (t, x), c’est-à-dire le domaine de définition
de la fonction f , et supposons f continue sur D.
Théorème
a) Si deux solutions passent par un même point, leurs graphes sont tangents en ce point.
b) Supposons que la fonction f a des dérivées partielles
∂f
∂x
et
∂f
∂t
continues. Pour tout
point (t 0 , x 0 ) de D, il existe une unique solution x(t) telle que x(t 0 ) = x 0 .
Une solution est donc entièrement déterminée par sa condition initiale.
c) Le graphe de chaque solution va jusqu’au bord du domaine D (éventuellement à l’infini).
La propriété (a) est évidente : si A=(τ,a) est un point commun aux graphes de deux solutions x 1 et x 2 , la tangente en A au graphe de x 1 a pour pente f
τ,a) et il en va de même
de la tangente en A au graphe de x 2 : ces deux graphes sont donc tangents au point A.
L’énoncé (b) affirme deux propriétés :
® Il existe toujours une solution x(t) satisfaisant la condition initiale x(t 0 ) = x 0 ,
® et cette solution est unique : cela veut dire que si x 1 (t) et x 2 (t) sont des solutions
prenant la même valeur x 0 en t = t 0 , alors on a x 1 (t) = x 2 (t) quel que soit t.
Conséquence. Si f a des dérivées partielles continues dans D, alors les graphes de
deux solutions différentes n’ont aucun point commun.
442 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES DU PREMIER ORDRE