® L’isocline pour la pente 0 est la bissectrice d’équation x = t.
Dans le demi-plan x > t (c’est-à-dire au dessus de la bissectrice), les solutions
sont croissantes ; en dessous, elles sont décroissantes.
® Si une solution passe par un point de la bissectrice, elle y a un maximum.
® L’isocline pour la pente 1 est la droite x = t+1 de pente 1 : par suite, la fonction
u(t) = t+1 est solution.
Exemple 2 : l'équation logistique. Voici un modèle très simple pour l’évolution d’une population en milieu fermé (par exemple, des bactéries en culture ou une
population de lapins sur un îlot). Les observations effectuées par unité de temps δt
(la durée d’un cycle reproductif) conduisent aux hypothèses suivantes :
® l’augmentation de population due à la reproduction est proportionnelle à l’effectif
initial ;
® la compétition pour la nourriture induit une mortalité proportionnelle au carré de
l’effectif initial.
Appelons x(t) l’effectif à l’instant t.
On a ainsi x(t + δt) − x(t) = kx(t)δt − a
x(t)
2 δt, où k et a sont des constantes positives.
Pour avoir un modèle continu, on fait tendre δt vers 0 : le rapport
x(t + δt) − x(t)
δt
tend vers la dérivée x
(t), vitesse d’évolution de la population, d’où la relation
x
(t) = kx(t) − a
x(t)
2 .
Ainsi, la fonction x(t) est solution de l’équation différentielle
x
= kx − ax
2
(équation logistique)
Supposons k = 1,8 et a = 0,04. L’équation s’écrit x
= 1,8 x − 0,04 x
2 , ou encore
x
= 0,04 x(45 − x)
L’isocline pour la pente 0 a pour équation 0,04 x(45−x) = 0, dont les solutions sont
x = 0 et x = 45 : l’isocline pour la pente 0 est donc formée de deux droites, l’axe
des abscisses (x = 0) et la droite horizontale d’équation x = 45. Puisque le champ
de directions est horizontal sur chacune de ces droites horizontales, on obtient deux
solutions constantes, correspondant à des effectifs stables au cours du temps :
– la fonction x(t) = 0 quel que soit t,
– et la fonction x(t) = 45 quel que soit t ; si à un instant initial, la population est
de 45 individus, l’effectif reste stable.
En tout point tel que x=m, le champ de directions a pour pente p(m)=0,04m(45−m) :
la droite d’équation x = m est l’isocline pour la pente p(m).
Si 0
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 441
Dans le demi-plan x > t (c’est-à-dire au dessus de la bissectrice), les solutions
sont croissantes ; en dessous, elles sont décroissantes.
® Si une solution passe par un point de la bissectrice, elle y a un maximum.
® L’isocline pour la pente 1 est la droite x = t+1 de pente 1 : par suite, la fonction
u(t) = t+1 est solution.
Exemple 2 : l'équation logistique. Voici un modèle très simple pour l’évolution d’une population en milieu fermé (par exemple, des bactéries en culture ou une
population de lapins sur un îlot). Les observations effectuées par unité de temps δt
(la durée d’un cycle reproductif) conduisent aux hypothèses suivantes :
® l’augmentation de population due à la reproduction est proportionnelle à l’effectif
initial ;
® la compétition pour la nourriture induit une mortalité proportionnelle au carré de
l’effectif initial.
Appelons x(t) l’effectif à l’instant t.
On a ainsi x(t + δt) − x(t) = kx(t)δt − a
x(t)
2 δt, où k et a sont des constantes positives.
Pour avoir un modèle continu, on fait tendre δt vers 0 : le rapport
x(t + δt) − x(t)
δt
tend vers la dérivée x
(t), vitesse d’évolution de la population, d’où la relation
x
(t) = kx(t) − a
x(t)
2 .
Ainsi, la fonction x(t) est solution de l’équation différentielle
x
= kx − ax
2
(équation logistique)
Supposons k = 1,8 et a = 0,04. L’équation s’écrit x
= 1,8 x − 0,04 x
2 , ou encore
x
= 0,04 x(45 − x)
L’isocline pour la pente 0 a pour équation 0,04 x(45−x) = 0, dont les solutions sont
x = 0 et x = 45 : l’isocline pour la pente 0 est donc formée de deux droites, l’axe
des abscisses (x = 0) et la droite horizontale d’équation x = 45. Puisque le champ
de directions est horizontal sur chacune de ces droites horizontales, on obtient deux
solutions constantes, correspondant à des effectifs stables au cours du temps :
– la fonction x(t) = 0 quel que soit t,
– et la fonction x(t) = 45 quel que soit t ; si à un instant initial, la population est
de 45 individus, l’effectif reste stable.
En tout point tel que x=m, le champ de directions a pour pente p(m)=0,04m(45−m) :
la droite d’équation x = m est l’isocline pour la pente p(m).
Si 0
Chapitre 15 – ´
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