1. Équations différentielles du premier ordre
1.1 L'appr oche graphique
Soit x
= f (t, x) une équation différentielle du premier ordre, la fonction f étant
définie dans un certain domaine D du plan.
Supposons que u est une solution et soit M = (τ, b) un point situé sur le graphe de
u. On a b = u(τ ), donc u
(τ ) = f (τ, b) est un nombre qui ne dépend que du point
M . Puisque la tangente en M au graphe de u a pour pente u
(τ ), on en déduit les
propriétés suivantes.
® En tout point (t, x) du graphe d’une solution, la tangente a pour pente f (t, x).
® Dans une région où f (t, x) > 0, les solutions sont croissantes ; dans une région où
f (t, x) < 0, elles sont décroissantes.
Voici comment on peut deviner l’allure des solutions. En tout point M = (t, x) de D,
dessinons un petit segment centré en M et de pente f (t, x) : on obtient un champ
de directions. Par définition, une solution de l’équation différentielle est une fonction
dont le graphe est tangent en tout point aux segments ainsi dessinés.
Exemple.
x
t
La figure ci-contre montre le champ de directions pour l’équation différentielle x
= −2tx
2 : en tout point (t, x), nous avons placé
un segment de pente f (t, x) = −2tx
2 . Ainsi, sur l’axe des ordonnées (t = 0), les segments sont tous horizontaux et il en
va de même sur l’axe des abscisses (x = 0). Il suffit de relier
les segments pour avoir l’allure de quelques solutions. On voit
que la fonction nulle, dont le graphe est l’axe des abscisses,
est solution. Puisque −2tx
2 a le signe de −t, les solutions sont décroissantes pour
t > 0 et croissantes pour t < 0.
En deux points (t, x), (−t, x) symétriques par rapport à Ox, les pentes du champ
de directions sont opposées, car on a f (−t, x) = −f (t, x) : en conséquence, si une
solution est définie sur un intervalle de la forme ]−a, a[, c’est une fonction paire.
Les isoclines
Si p est un nombre donné, les points (t,x) où les solutions ont une tangente de pente p
vérifient f (t,x)=p. C’est l’équation d’une courbe, appelée l’isocline pour la pente p, car le
long de cette courbe, le champ de direction garde la pente constante p : on peut garnir
l’isocline de petits segments de pente p. En traçant quelques isoclines pour différentes
valeurs de p, on a un aperçu du champ de direction et de l’allure des solutions .
L’isocline pour la pente p est la courbe d’équation f (t, x) = p.
Exemple 1.
t
x
1
1
2
Considérons l’équation x
= x−t. L’isocline pour
la pente p est la droite d’équation x = t + p, parallèle à la
première bissectrice des axes. La figure ci-contre montre les
isoclines pour les pentes p = 2, 1, 0 et −1.
440 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES DU PREMIER ORDRE
1.1 L'appr oche graphique
Soit x
= f (t, x) une équation différentielle du premier ordre, la fonction f étant
définie dans un certain domaine D du plan.
Supposons que u est une solution et soit M = (τ, b) un point situé sur le graphe de
u. On a b = u(τ ), donc u
(τ ) = f (τ, b) est un nombre qui ne dépend que du point
M . Puisque la tangente en M au graphe de u a pour pente u
(τ ), on en déduit les
propriétés suivantes.
® En tout point (t, x) du graphe d’une solution, la tangente a pour pente f (t, x).
® Dans une région où f (t, x) > 0, les solutions sont croissantes ; dans une région où
f (t, x) < 0, elles sont décroissantes.
Voici comment on peut deviner l’allure des solutions. En tout point M = (t, x) de D,
dessinons un petit segment centré en M et de pente f (t, x) : on obtient un champ
de directions. Par définition, une solution de l’équation différentielle est une fonction
dont le graphe est tangent en tout point aux segments ainsi dessinés.
Exemple.
x
t
La figure ci-contre montre le champ de directions pour l’équation différentielle x
= −2tx
2 : en tout point (t, x), nous avons placé
un segment de pente f (t, x) = −2tx
2 . Ainsi, sur l’axe des ordonnées (t = 0), les segments sont tous horizontaux et il en
va de même sur l’axe des abscisses (x = 0). Il suffit de relier
les segments pour avoir l’allure de quelques solutions. On voit
que la fonction nulle, dont le graphe est l’axe des abscisses,
est solution. Puisque −2tx
2 a le signe de −t, les solutions sont décroissantes pour
t > 0 et croissantes pour t < 0.
En deux points (t, x), (−t, x) symétriques par rapport à Ox, les pentes du champ
de directions sont opposées, car on a f (−t, x) = −f (t, x) : en conséquence, si une
solution est définie sur un intervalle de la forme ]−a, a[, c’est une fonction paire.
Les isoclines
Si p est un nombre donné, les points (t,x) où les solutions ont une tangente de pente p
vérifient f (t,x)=p. C’est l’équation d’une courbe, appelée l’isocline pour la pente p, car le
long de cette courbe, le champ de direction garde la pente constante p : on peut garnir
l’isocline de petits segments de pente p. En traçant quelques isoclines pour différentes
valeurs de p, on a un aperçu du champ de direction et de l’allure des solutions .
L’isocline pour la pente p est la courbe d’équation f (t, x) = p.
Exemple 1.
t
x
1
1
2
Considérons l’équation x
= x−t. L’isocline pour
la pente p est la droite d’équation x = t + p, parallèle à la
première bissectrice des axes. La figure ci-contre montre les
isoclines pour les pentes p = 2, 1, 0 et −1.
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EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES DU PREMIER ORDRE