Chapitre 15
Équations différentielles
Une équation différentielle est une relation entre une fonction x(t) et ses dérivées
x
(t), x
(t), . . .. Dans le cas le plus simple, elle permet d’exprimer pour tout t, la
valeur de x
(t) au moyen de x(t) et de t, sous la forme x
(t) = f
t, x(t)
, où f est
une fonction de deux variables. Une telle équation s’écrit simplement x
= f (t, x).
Exemples
1) x
= −2tx est une équation différentielle, du premier ordre car elle ne fait intervenir que la dérivée première. Une solution est une fonction u(t) dérivable telle
que u
(t) = −2tu(t) pour tout t.
La fonction u(t) = exp(−t
2 ) est solution, car u
(t) = −2texp(−t
2 ) = −2tu(t). De même,
pour tout nombre λ, la fonction λ exp(−t
2 ) est solution.
2) x
= x est aussi une équation différentielle du premier ordre. Ses solutions sont
les fonctions dérivables u(t) telles que u
(t) = u(t) pour tout t : la fonction
u(t) = exp(t) est une solution, de même que λ exp(t) pour tout nombre λ.
3) x
=x
+2x−2expt est une équation différentielle du second ordre, dont les solutions
sont les fonctions u(t) (deux fois dérivables) vérifiant u
(t) = u
(t) + 2u(t) − 2 exp t
pour tout t.
Pour tous nombres λ et μ, les fonctions λexp(2t)+μexp(−t)+expt sont des solutions
de cette équation.
4) Si ω est un nombre donné, la fonction u(t) = sin ωt est solution de l’équation différentielle x
+ ω
2 x = 0, car on a u
(t) = ω cos ωt et u
(t) = −ω
2 cos ωt = −ω
2 u(t) ;
de même, v(t) = cos ωt est une solution.
Les solutions sont toutes les fonctions λ cos ωt + μ sin ωt, où λ et μ sont des
nombres quelconques.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 439