3. Le champ électrique. Le champ électrique créé en un point M de l’espace par une charge
q placée à l’origine O des coordonnées est
− − − − − − − − − − − →
E(M ) =
q
4πε 0
− − − − − − − − − − − →
F (M ), où
− − − − − − − − − − − →
F (M ) = 1
r
2
→
u,
→
u étant le vecteur unitaire dirigé par
− − − − − − − →
OM et r la distance OM .
a) Calculer la divergence div
− →
F = ∂
∂x
x
r
3
+ ∂
∂y
y
r
3
+ ∂
∂z
z
r
3
. En déduire que
le flux de
− →
E à travers une surface fermée n’entourant pas la charge est nul.
b) Soit S la sphère centrée à l’origine et de rayon a. Montrer qu’en tout point M de
S , le vecteur normal unitaire dirigé vers l’extérieur est
− − →
N =
− − − →
OM
a
et que
− →
F ·
− − →
N = 1
a
2
.
En se rappelant que l’aire de S est 4πa
2 , en déduire que le flux de
− →
E à travers
S est
S
− →
E ·
− − →
N da =
q
ε 0
.
Le flux du champ électrique à travers une sphère centrée sur la charge ne dépend
donc pas du rayon de la sphère : c’est la loi de Gauss en électrostatique.
4.
z
M
−
→
k
−
→
u
− − − − − − − − − − − − − − −
→
dB(M )
dd O
Le champ magnétique. Un « élément de courant électrique », formé
d’un fil rectiligne de longueur infinitésimale dd placé en un point
O et parcouru par un courant d’intensité j , crée en tout point
M un champ magnétique
− − − − − − − − − − − − − − →
dB(M ) =
μ 0
4π
j dd
→
k ∧
→
u
OM
3
, où
→
k est le
vecteur unitaire dans la direction du fil dirigé dans le sens du
courant et
→
u le vecteur unitaire dans la direction
− − − − − − − →
OM . On choisit
l’origine des coordonnées en O et l’axe Oz dirigé selon
→
k.
Calculer les composantes B x ,B y ,B z du champ
− − − − − − − − − − − − − − →
dB(M ) et montrer que la divergence
de
− − − − →
dB est nulle.
Le champ magnétique créé par un courant est conservatif.
5
@ . Déterminer la fonction y → f (y) pour que le champ e
x f (y)
→
i +e
x ln y
→
j dérive d’un
potentiel. Quel est le potentiel qui tend vers 0 quand (x, y) tend vers (1, 0) et vers
1 quand (x, y) tend vers (0, 0) ? On trouve f (y) = y ln y − y + c, où c est une constante
et le potentiel est ρ = −
e
x (y ln y − y + c) + d
, avec c = 1
e−1
et d =
−e
e−1
.
6. Soit
− →
E un champ de vecteurs tel que div
− →
E = 0. Considérons un
s
s
− −
→
E(a
a
)
− −
→
E (a
a
)
tube de champ basé sur une surface s : il est constitué des
lignes de champ aa
issues des points de s ; limitons ce
tube par la surface s
.
Montrer que le flux de
− →
E à travers la surface latérale
du tube est nulle. En déduire que le flux de
− →
E à travers
une section quelconque du tube ne dépend pas de cette section (flux conservatif).
Montrer que si le tube est très étroit et les sections s et s
orthogonales aux lignes
de champ, les aires de s et s
sont inversement proportionnelles aux intensités
− →
E
et
− − −
→
E
du champ sur s et s
.
438 – EXERCICES
q placée à l’origine O des coordonnées est
− − − − − − − − − − − →
E(M ) =
q
4πε 0
− − − − − − − − − − − →
F (M ), où
− − − − − − − − − − − →
F (M ) = 1
r
2
→
u,
→
u étant le vecteur unitaire dirigé par
− − − − − − − →
OM et r la distance OM .
a) Calculer la divergence div
− →
F = ∂
∂x
x
r
3
+ ∂
∂y
y
r
3
+ ∂
∂z
z
r
3
. En déduire que
le flux de
− →
E à travers une surface fermée n’entourant pas la charge est nul.
b) Soit S la sphère centrée à l’origine et de rayon a. Montrer qu’en tout point M de
S , le vecteur normal unitaire dirigé vers l’extérieur est
− − →
N =
− − − →
OM
a
et que
− →
F ·
− − →
N = 1
a
2
.
En se rappelant que l’aire de S est 4πa
2 , en déduire que le flux de
− →
E à travers
S est
S
− →
E ·
− − →
N da =
q
ε 0
.
Le flux du champ électrique à travers une sphère centrée sur la charge ne dépend
donc pas du rayon de la sphère : c’est la loi de Gauss en électrostatique.
4.
z
M
−
→
k
−
→
u
− − − − − − − − − − − − − − −
→
dB(M )
dd O
Le champ magnétique. Un « élément de courant électrique », formé
d’un fil rectiligne de longueur infinitésimale dd placé en un point
O et parcouru par un courant d’intensité j , crée en tout point
M un champ magnétique
− − − − − − − − − − − − − − →
dB(M ) =
μ 0
4π
j dd
→
k ∧
→
u
OM
3
, où
→
k est le
vecteur unitaire dans la direction du fil dirigé dans le sens du
courant et
→
u le vecteur unitaire dans la direction
− − − − − − − →
OM . On choisit
l’origine des coordonnées en O et l’axe Oz dirigé selon
→
k.
Calculer les composantes B x ,B y ,B z du champ
− − − − − − − − − − − − − − →
dB(M ) et montrer que la divergence
de
− − − − →
dB est nulle.
Le champ magnétique créé par un courant est conservatif.
5
@ . Déterminer la fonction y → f (y) pour que le champ e
x f (y)
→
i +e
x ln y
→
j dérive d’un
potentiel. Quel est le potentiel qui tend vers 0 quand (x, y) tend vers (1, 0) et vers
1 quand (x, y) tend vers (0, 0) ? On trouve f (y) = y ln y − y + c, où c est une constante
et le potentiel est ρ = −
e
x (y ln y − y + c) + d
, avec c = 1
e−1
et d =
−e
e−1
.
6. Soit
− →
E un champ de vecteurs tel que div
− →
E = 0. Considérons un
s
s
− −
→
E(a
a
)
− −
→
E (a
a
)
tube de champ basé sur une surface s : il est constitué des
lignes de champ aa
issues des points de s ; limitons ce
tube par la surface s
.
Montrer que le flux de
− →
E à travers la surface latérale
du tube est nulle. En déduire que le flux de
− →
E à travers
une section quelconque du tube ne dépend pas de cette section (flux conservatif).
Montrer que si le tube est très étroit et les sections s et s
orthogonales aux lignes
de champ, les aires de s et s
sont inversement proportionnelles aux intensités
− →
E
et
− − −
→
E
du champ sur s et s
.
438 – EXERCICES