Exercices
1
@ . Gradients conjugués. Soit
− →
E = P
→
i +Q
→
j un champ de vecteurs défini dans le plan.
Définissons le champ de vecteurs
− − − →
E
c = −Q
→
i +P
→
j .
a) Montrer qu’en tout point M du plan, le vecteur
− − − − − − − − − − − − − →
E
c (M ) se déduit de
− − − − − − − − − − − →
E(M ) par
rotation d’angle + π
2
.
b) On suppose que
− →
E =
− − − − − − − − − →
Grad ϕ , où ϕ est une fonction harmonique. Montrer que
− − − − − − →
Rot
− − − →
E
c
= 0. En déduire qu’il existe une fonction ϕ
c telle que
− − − →
E
c =
− − − − − − − − − →
Grad ϕ c et
que ϕ
c est harmonique. On dit que ϕ et ϕ
c sont des potentiels conjugués.
c) On prend
− →
E = (x
2
−y
2 )
→
i −2xy
→
j . Montrer que le champ E est le gradient d’une
fonction ϕ. Calculer ϕ(x, y) et le potentiel conjugué ϕ
c (x, y).
2
@ .
O
v
x
M
y
x
→
i
→
i
a
+v y
−
→
j
−
→
j
Un modèle d'écoulement. On considère le mouvement plan non
tourbillonnaire d’un fluide autour d’un cylindre fixe de rayon a
et d’axe vertical. Plaçons l’origine O des coordonnées sur l’axe du
cylindre, Ox étant l’axe de symétrie du mouvement. En appelant
v x ,v y les composantes de la vitesse d’une particule dans le fluide
et r la distance à l’origine, le champ des vitesses est v x
→
i+v y
→
j =
− − − − − − − − − →
Grad ϕ , où ϕ=x+ a
2 x
r
2
.
a) Écrire ϕ(x, y) au moyen de r et θ. En déduire que la fonction ϕ est harmonique
(se reporter page 372). Montrer que v x = 1−a
2 y
2 −x
2
r
4
et v y = −a
2 2xy
r
4
.
b) Montrer que le potentiel conjugué (voir l’exercice ci-dessus) est ϕ
c = y−
a
2 y
r
2
. En
déduire que les lignes de courant sont les courbes d’équation ϕ
c (x, y) = K , où
K est une constante.
c) À l’aide d’un ordinateur, vérifier que les lignes de courant ont l’allure montré
figure 1. Sur la figure 2, on voit aussi les courbes d’équation ϕ = constante : ce
sont les lignes d’égale pression. En chaque point, ligne de courant et ligne d’égale
pression sont orthogonales.
figure 1
figure 2
En réalité, cette modélisation n’est pas correcte dans la région juste en aval du cylindre : on y observe un effet de sillage plus ou moins important selon la viscosité
et la vitesse ; aux vitesses élevées, il se forme des tourbillons.
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 437
1
@ . Gradients conjugués. Soit
− →
E = P
→
i +Q
→
j un champ de vecteurs défini dans le plan.
Définissons le champ de vecteurs
− − − →
E
c = −Q
→
i +P
→
j .
a) Montrer qu’en tout point M du plan, le vecteur
− − − − − − − − − − − − − →
E
c (M ) se déduit de
− − − − − − − − − − − →
E(M ) par
rotation d’angle + π
2
.
b) On suppose que
− →
E =
− − − − − − − − − →
Grad ϕ , où ϕ est une fonction harmonique. Montrer que
− − − − − − →
Rot
− − − →
E
c
= 0. En déduire qu’il existe une fonction ϕ
c telle que
− − − →
E
c =
− − − − − − − − − →
Grad ϕ c et
que ϕ
c est harmonique. On dit que ϕ et ϕ
c sont des potentiels conjugués.
c) On prend
− →
E = (x
2
−y
2 )
→
i −2xy
→
j . Montrer que le champ E est le gradient d’une
fonction ϕ. Calculer ϕ(x, y) et le potentiel conjugué ϕ
c (x, y).
2
@ .
O
v
x
M
y
x
→
i
→
i
a
+v y
−
→
j
−
→
j
Un modèle d'écoulement. On considère le mouvement plan non
tourbillonnaire d’un fluide autour d’un cylindre fixe de rayon a
et d’axe vertical. Plaçons l’origine O des coordonnées sur l’axe du
cylindre, Ox étant l’axe de symétrie du mouvement. En appelant
v x ,v y les composantes de la vitesse d’une particule dans le fluide
et r la distance à l’origine, le champ des vitesses est v x
→
i+v y
→
j =
− − − − − − − − − →
Grad ϕ , où ϕ=x+ a
2 x
r
2
.
a) Écrire ϕ(x, y) au moyen de r et θ. En déduire que la fonction ϕ est harmonique
(se reporter page 372). Montrer que v x = 1−a
2 y
2 −x
2
r
4
et v y = −a
2 2xy
r
4
.
b) Montrer que le potentiel conjugué (voir l’exercice ci-dessus) est ϕ
c = y−
a
2 y
r
2
. En
déduire que les lignes de courant sont les courbes d’équation ϕ
c (x, y) = K , où
K est une constante.
c) À l’aide d’un ordinateur, vérifier que les lignes de courant ont l’allure montré
figure 1. Sur la figure 2, on voit aussi les courbes d’équation ϕ = constante : ce
sont les lignes d’égale pression. En chaque point, ligne de courant et ligne d’égale
pression sont orthogonales.
figure 1
figure 2
En réalité, cette modélisation n’est pas correcte dans la région juste en aval du cylindre : on y observe un effet de sillage plus ou moins important selon la viscosité
et la vitesse ; aux vitesses élevées, il se forme des tourbillons.
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 437