par
− − →
OA sont (x/d,y/d), donc
−→
HI a pour coordonnées
a 2 − (d 2 /4)(−y/d,x/d). Les coordonnées de
− − →
OH sont (x/2,y/2) et
− →
OI =
− − →
OH +
−→
HI , donc les coordonnées du point I sont
p
q
=
x/2
y/2
+ 1
d
a 2 − d
2
4
−y
x
, avec d =
x 2 +y 2 .
Coordonnées de I : p = x
2
−
y
2
4a
2
−(x
2 +y
2 )
x
2 +y
2
, q =
y
2
+ x
2
4a
2
−(x
2 +y
2 )
x
2 +y
2
.
Si M est un point du plan accessible au planimètre, amenons A en ce point et
notons
− − − − − − − − − − − →
E(M ) le vecteur unitaire directement orthogonal à
− − − − − →
IM . Les coordonnées de
− − − − − →
IM étant (x−p, y−q), celles de
− − − − − − − − − − − →
E(M ) sont (P, Q) = 1
a
−(y−q) , x−p
.
On définit ainsi un champ de vecteurs unitaires dans une région du plan.
Premier point. Le nombre de tours de roulette est proportionnel à la circulation du champ
− − − − − − − − − − − →
E(M ) le long de la courbe C .
M
− − − − − − − − − − − −
→
E(M )
C
− − →
dM
O
I
Si l’on déplace M dans l’axe de la roulette, elle ne
tourne pas. Si l’on déplace M dans le sens de
− − − − − →
E(M ),
elle tourne d’une quantité proportionnelle au déplacement. Pour un petit déplacement
− − →
dM de direction
quelconque, la rotation de la roulette est proportionnelle à la composante de
− − →
dM sur
− − − − − →
E(M ), c’est-à-dire au produit scalaire
− − − − − →
E(M ) ·
− − →
dM .
Quand M parcourt la courbe, l’accroissement
− − →
dM reste tangent à C et le nombre de
tours de roulette est donc proportionnel à
C
− − − − − →
E(M ) ·
− − →
dM .
Deuxième point. En tout point M , on a
− − − − − − →
Rot
− →
E
= 1
a
→
k, où
→
k est un vecteur unitaire
orthogonal au plan.
En posant d = x
2 +y
2 et u =
4a
2 −d
2
d
2
, on a en effet
∂Q
∂x
= 1
2a
−
2axy
ud
4
et ∂P
∂y
=
−1
2a
−
2axy
ud
4
, donc
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 1
a .
Troisième point. Soit D l’intérieur de la courbe. D’après la formule de Stokes, la
circulation du champ
− − − − − − − − − − − →
E(M ) le long de C est
C
− − − − − − − − − − − →
E(M ) ·
− − − − − →
dM =
D
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
dxdy =
D
1
a
dxdy = 1
a
aire de D.
On en déduit que l’aire intérieure à C est proportionnelle au nombre de tours
enregistrés par la roulette quand M parcourt la courbe.
436 – FORMULE DE STOKES
− − →
OA sont (x/d,y/d), donc
−→
HI a pour coordonnées
a 2 − (d 2 /4)(−y/d,x/d). Les coordonnées de
− − →
OH sont (x/2,y/2) et
− →
OI =
− − →
OH +
−→
HI , donc les coordonnées du point I sont
p
q
=
x/2
y/2
+ 1
d
a 2 − d
2
4
−y
x
, avec d =
x 2 +y 2 .
Coordonnées de I : p = x
2
−
y
2
4a
2
−(x
2 +y
2 )
x
2 +y
2
, q =
y
2
+ x
2
4a
2
−(x
2 +y
2 )
x
2 +y
2
.
Si M est un point du plan accessible au planimètre, amenons A en ce point et
notons
− − − − − − − − − − − →
E(M ) le vecteur unitaire directement orthogonal à
− − − − − →
IM . Les coordonnées de
− − − − − →
IM étant (x−p, y−q), celles de
− − − − − − − − − − − →
E(M ) sont (P, Q) = 1
a
−(y−q) , x−p
.
On définit ainsi un champ de vecteurs unitaires dans une région du plan.
Premier point. Le nombre de tours de roulette est proportionnel à la circulation du champ
− − − − − − − − − − − →
E(M ) le long de la courbe C .
M
− − − − − − − − − − − −
→
E(M )
C
− − →
dM
O
I
Si l’on déplace M dans l’axe de la roulette, elle ne
tourne pas. Si l’on déplace M dans le sens de
− − − − − →
E(M ),
elle tourne d’une quantité proportionnelle au déplacement. Pour un petit déplacement
− − →
dM de direction
quelconque, la rotation de la roulette est proportionnelle à la composante de
− − →
dM sur
− − − − − →
E(M ), c’est-à-dire au produit scalaire
− − − − − →
E(M ) ·
− − →
dM .
Quand M parcourt la courbe, l’accroissement
− − →
dM reste tangent à C et le nombre de
tours de roulette est donc proportionnel à
C
− − − − − →
E(M ) ·
− − →
dM .
Deuxième point. En tout point M , on a
− − − − − − →
Rot
− →
E
= 1
a
→
k, où
→
k est un vecteur unitaire
orthogonal au plan.
En posant d = x
2 +y
2 et u =
4a
2 −d
2
d
2
, on a en effet
∂Q
∂x
= 1
2a
−
2axy
ud
4
et ∂P
∂y
=
−1
2a
−
2axy
ud
4
, donc
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 1
a .
Troisième point. Soit D l’intérieur de la courbe. D’après la formule de Stokes, la
circulation du champ
− − − − − − − − − − − →
E(M ) le long de C est
C
− − − − − − − − − − − →
E(M ) ·
− − − − − →
dM =
D
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
dxdy =
D
1
a
dxdy = 1
a
aire de D.
On en déduit que l’aire intérieure à C est proportionnelle au nombre de tours
enregistrés par la roulette quand M parcourt la courbe.
436 – FORMULE DE STOKES