L’aire de D est la somme de ces deux intégrales, c’est-à-dire 2α
1−2(cosα)
2
+sin2α=
sin 2α − 2α cos 2α.
2.5 Le planimètre
Le planimètre, inventé par J. Amsler en 1854, est un instrument qui permet de
mesurer l’aire plane délimitée par une courbe fermée.
O
I
A
Description.
O
I
A
L’appareil est constitué de deux tiges OI et IA de même longueur
et articulées en I .
® L’extrémité O peut être fixée en un point d’un support
plan, tandis que l’extrémité A peut bouger librement
sur ce plan.
® Sur la tige IA est fixée une roulette d’axe IA ; on la munit d’un compte-tour, car elle est destinée à enregistrer
les mouvements de rotation de la tige.
Fonctionnement. On fixe O en un point du plan de la courbe et l’on fait parcourir la courbe à l’extrémité A de la tige libre. Pendant le mouvement, la roulette
tourne par frottement sur le support.
Le nombre de tours de la roulette est proportionnel à
l’aire intérieure à la courbe.
Il suffit donc d’étalonner l’instrument sur un carré unité pour avoir un outil qui
mesure les aires.
Explication. Pour repérer les points du plan, prenons des axes orthonormés d’origine O. Calculons les coordonnées (p,q) de I en fonction des coordonnées (x,y) de A.
H
a
a
d/2
I
O
A
Notons a la longueur commune des tiges OI et IA. Le triangle
OIA étant isocèle, la hauteur IH issue de I est une médiane. En
posant d=OA=2OH , il vient donc (théorème de Pythagore) HI
2 =
OI
2
− OH
2 = a
2
− d
2
4
. Les coordonnées du vecteur unitaire porté
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 435
1−2(cosα)
2
+sin2α=
sin 2α − 2α cos 2α.
2.5 Le planimètre
Le planimètre, inventé par J. Amsler en 1854, est un instrument qui permet de
mesurer l’aire plane délimitée par une courbe fermée.
O
I
A
Description.
O
I
A
L’appareil est constitué de deux tiges OI et IA de même longueur
et articulées en I .
® L’extrémité O peut être fixée en un point d’un support
plan, tandis que l’extrémité A peut bouger librement
sur ce plan.
® Sur la tige IA est fixée une roulette d’axe IA ; on la munit d’un compte-tour, car elle est destinée à enregistrer
les mouvements de rotation de la tige.
Fonctionnement. On fixe O en un point du plan de la courbe et l’on fait parcourir la courbe à l’extrémité A de la tige libre. Pendant le mouvement, la roulette
tourne par frottement sur le support.
Le nombre de tours de la roulette est proportionnel à
l’aire intérieure à la courbe.
Il suffit donc d’étalonner l’instrument sur un carré unité pour avoir un outil qui
mesure les aires.
Explication. Pour repérer les points du plan, prenons des axes orthonormés d’origine O. Calculons les coordonnées (p,q) de I en fonction des coordonnées (x,y) de A.
H
a
a
d/2
I
O
A
Notons a la longueur commune des tiges OI et IA. Le triangle
OIA étant isocèle, la hauteur IH issue de I est une médiane. En
posant d=OA=2OH , il vient donc (théorème de Pythagore) HI
2 =
OI
2
− OH
2 = a
2
− d
2
4
. Les coordonnées du vecteur unitaire porté
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
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