Calcul d'une aire plane
Soit D un domaine plan limité par une courbe C . Dans la formule de Stokes (1),
prenons P (x, y) = −y et Q = 0. Alors
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 1 et il vient
Aire de D =
C
−y dx
De même, avec Q(x, y) = x et P = 0, on a : Aire de D =
C
x dy. Il est parfois
commode de faire intervenir les deux coordonnées x et y et d’utiliser la formule
Aire de D = 1
2
C
x dy−y dx
Aire d'un domaine fermé paramétré par les coordonnées polaires
x
y
C
M
r θ
Prenons dans le plan une courbe fermée C formée des points M dont les coordonnées polaires (r, θ) vérifient r = f (θ), où f est une fonction dérivable
sur un intervalle contenu dans [0,2π]. Utilisons la formule précédente
pour calculer l’aire du secteur bordé par C , un résultat qu’on obtient
aussi par calcul direct en coordonnées polaires (exercice 1 page 411).
En tout point de C , on a
x = r cos θ = f (θ) cos θ , dx = f
(θ) cos θ − f (θ) sin θ
y = r sin θ = f (θ) sin θ , dy = f
(θ) sin θ + f (θ) cos θ
d’où x dy−y dx =
[f (θ)]
2 (cos θ)
2 + [f (θ)]
2 (sin θ)
2
dθ =
f (θ)
2 dθ et l’aire de D est
1
2
C
f (θ)
2 dθ.
Exemple.
2
D
P
O
A
B
x
y
α
C 1
C 2
R
Dans le disque de rayon 1 centré au point P =(1,0),
enlevons la partie incluse dans un disque de rayon R<2 centré
à l’origine O : on obtient un domaine D en forme de croissant. Notons A la pointe supérieure, B la pointe inférieure et
α l’angle
− − − − − →
OP ,
− − − − − →
OA.
Le bord de D est formé de deux arcs de cercles :
® l’arc C 1 du cercle de centre P , d’équation r = 2 cos θ , −α θ α,
® l’arc C 2 du cercle de centre O, d’équation r = R , −α θ α.
Comme les points A et B sont à la distance R de l’origine, l’angle α est déterminé
par l’égalité R = 2 cos α. Paramétrons ce bord dans le sens des flèches indiquées sur
la figure. Il vient
1
2
C 1
r
2 dθ =
α
−α
2(cos θ)
2 dθ =
α
−α
1 + cos 2θ
dθ = 2α + sin 2α
1
2
C 2
r
2 dθ = 1
2
−α
α
R
2 dθ = −αR
2 = −4α(cos α)
2
434 – FORMULE DE STOKES
Soit D un domaine plan limité par une courbe C . Dans la formule de Stokes (1),
prenons P (x, y) = −y et Q = 0. Alors
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 1 et il vient
Aire de D =
C
−y dx
De même, avec Q(x, y) = x et P = 0, on a : Aire de D =
C
x dy. Il est parfois
commode de faire intervenir les deux coordonnées x et y et d’utiliser la formule
Aire de D = 1
2
C
x dy−y dx
Aire d'un domaine fermé paramétré par les coordonnées polaires
x
y
C
M
r θ
Prenons dans le plan une courbe fermée C formée des points M dont les coordonnées polaires (r, θ) vérifient r = f (θ), où f est une fonction dérivable
sur un intervalle contenu dans [0,2π]. Utilisons la formule précédente
pour calculer l’aire du secteur bordé par C , un résultat qu’on obtient
aussi par calcul direct en coordonnées polaires (exercice 1 page 411).
En tout point de C , on a
x = r cos θ = f (θ) cos θ , dx = f
(θ) cos θ − f (θ) sin θ
y = r sin θ = f (θ) sin θ , dy = f
(θ) sin θ + f (θ) cos θ
d’où x dy−y dx =
[f (θ)]
2 (cos θ)
2 + [f (θ)]
2 (sin θ)
2
dθ =
f (θ)
2 dθ et l’aire de D est
1
2
C
f (θ)
2 dθ.
Exemple.
2
D
P
O
A
B
x
y
α
C 1
C 2
R
Dans le disque de rayon 1 centré au point P =(1,0),
enlevons la partie incluse dans un disque de rayon R<2 centré
à l’origine O : on obtient un domaine D en forme de croissant. Notons A la pointe supérieure, B la pointe inférieure et
α l’angle
− − − − − →
OP ,
− − − − − →
OA.
Le bord de D est formé de deux arcs de cercles :
® l’arc C 1 du cercle de centre P , d’équation r = 2 cos θ , −α θ α,
® l’arc C 2 du cercle de centre O, d’équation r = R , −α θ α.
Comme les points A et B sont à la distance R de l’origine, l’angle α est déterminé
par l’égalité R = 2 cos α. Paramétrons ce bord dans le sens des flèches indiquées sur
la figure. Il vient
1
2
C 1
r
2 dθ =
α
−α
2(cos θ)
2 dθ =
α
−α
1 + cos 2θ
dθ = 2α + sin 2α
1
2
C 2
r
2 dθ = 1
2
−α
α
R
2 dθ = −αR
2 = −4α(cos α)
2
434 – FORMULE DE STOKES