2.4 Applications
Propriété de l'extremum pour une fonction harmonique
Soit f une fonction harmonique dans une région R de l’espace, région qu’on suppose d’un seul tenant. Nous allons voir qu’à moins d’être constante, f ne peut avoir
ni minimum, ni maximum en un point intérieur à R.
Supposons que f a un minimum en un point M 0 intérieur à R. Soit S une petite
surface de niveau entourant M 0 et soit D le domaine intérieur à S . Puisque le gradient
de f pointe vers les niveaux supérieurs, on sait qu’en tout point M , le vecteur
− − − − − →
E(M ) =
− − − − →
Grad f (M ) pointe vers l’extérieur de D : cela veut dire que si
− − − − − →
N (M ) est le
vecteur normal à S en M , le produit scalaire
− − − − − →
E(M )·
− − − − − →
N (M ) est positif ou nul, et par suite
S
− − − − − →
E(M ) ·
− − − − − →
N (M ) d a 0
D’après la formule 3, l’intégrale ci-dessus vaut
I =
D
div
− − − − →
Grad f
dxdydz =
D
Δf dxdydz = 0
car le laplacien Δf est nul. On en déduit qu’en tout point M ∈ S , on a
− − − − − →
E(M )·
− − − − − →
N (M ) = 0,
autrement dit
− − − − − →
E(M ) est tangent à S : au voisinage de M , il n’y a pas de niveau
supérieur à celui de M , donc
− − − − − →
E(M ) =
− − − − →
Grad f (M ) = 0. Cela étant vrai pour tous les
points M voisins de M 0 , on en déduit que f est constante dans D.
Considérons maintenant un point M 1 quelconque dans D. Par hypothèse, on peut
joindre M 0 à M 1 par une courbe M t tracée dans R, où t parcourt (par exemple) [0, 1].
Pour t assez proche de 0, M t est dans D, donc f (M t ) = f (M 0 ). Soit τ la plus grande
valeur de t telle que f (M t ) = f (M 0 ). Puisque f (M 0 ) est la valeur minimum de f
sur R, le raisonnement précédent montre que f est constante au voisinage du point
M τ . Si τ < 1, on a donc aussi f (M t ) = f (M τ ) = f (M 0 ) pour des valeurs de t un peu
supérieures à τ : c’est impossible, d’après le choix de τ . C’est donc qu’on a τ = 1 et
f (M 1 ) = f (M τ ) = f (M 0 ). La fonction f est donc constante sur R.
Recherche d'un potentiel harmonique. Nous avons montré que dans un fluide
incompressible en mouvement non tourbillonnaire, le champ des vitesses est de la
forme −
− − − − − − − − − →
Grad ρ , où ρ est une fonction harmonique à l’intérieur du domaine R occupé par le fluide. En général, on connaît les valeurs de ρ sur le bord de R et
éventuellement la limite de ρ(M ) quand M tend vers l’infini : c’est ce qu’on appelle
les conditions au bord.
Supposons que ρ 1 et ρ 2 sont des potentiels harmoniques à l’intérieur de R satisfaisant
les mêmes conditions au bord. La fonction f = ρ 2 −ρ 1 est harmonique dans R et comme
elle est nulle au bord, f atteint un extremum en un point intérieur à R. D’après ce qui
précède, f est constante dans R, et comme f est nulle au bord, on a f (M ) = 0 en tout
point M de R, c’est-à-dire ρ 1 = ρ 2 .
Le potentiel harmonique ρ est donc parfaitement déterminé par les conditions aux
bord du domaine, et il en va de même du mouvement des particules dans le fluide.
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 433
Propriété de l'extremum pour une fonction harmonique
Soit f une fonction harmonique dans une région R de l’espace, région qu’on suppose d’un seul tenant. Nous allons voir qu’à moins d’être constante, f ne peut avoir
ni minimum, ni maximum en un point intérieur à R.
Supposons que f a un minimum en un point M 0 intérieur à R. Soit S une petite
surface de niveau entourant M 0 et soit D le domaine intérieur à S . Puisque le gradient
de f pointe vers les niveaux supérieurs, on sait qu’en tout point M , le vecteur
− − − − − →
E(M ) =
− − − − →
Grad f (M ) pointe vers l’extérieur de D : cela veut dire que si
− − − − − →
N (M ) est le
vecteur normal à S en M , le produit scalaire
− − − − − →
E(M )·
− − − − − →
N (M ) est positif ou nul, et par suite
S
− − − − − →
E(M ) ·
− − − − − →
N (M ) d a 0
D’après la formule 3, l’intégrale ci-dessus vaut
I =
D
div
− − − − →
Grad f
dxdydz =
D
Δf dxdydz = 0
car le laplacien Δf est nul. On en déduit qu’en tout point M ∈ S , on a
− − − − − →
E(M )·
− − − − − →
N (M ) = 0,
autrement dit
− − − − − →
E(M ) est tangent à S : au voisinage de M , il n’y a pas de niveau
supérieur à celui de M , donc
− − − − − →
E(M ) =
− − − − →
Grad f (M ) = 0. Cela étant vrai pour tous les
points M voisins de M 0 , on en déduit que f est constante dans D.
Considérons maintenant un point M 1 quelconque dans D. Par hypothèse, on peut
joindre M 0 à M 1 par une courbe M t tracée dans R, où t parcourt (par exemple) [0, 1].
Pour t assez proche de 0, M t est dans D, donc f (M t ) = f (M 0 ). Soit τ la plus grande
valeur de t telle que f (M t ) = f (M 0 ). Puisque f (M 0 ) est la valeur minimum de f
sur R, le raisonnement précédent montre que f est constante au voisinage du point
M τ . Si τ < 1, on a donc aussi f (M t ) = f (M τ ) = f (M 0 ) pour des valeurs de t un peu
supérieures à τ : c’est impossible, d’après le choix de τ . C’est donc qu’on a τ = 1 et
f (M 1 ) = f (M τ ) = f (M 0 ). La fonction f est donc constante sur R.
Recherche d'un potentiel harmonique. Nous avons montré que dans un fluide
incompressible en mouvement non tourbillonnaire, le champ des vitesses est de la
forme −
− − − − − − − − − →
Grad ρ , où ρ est une fonction harmonique à l’intérieur du domaine R occupé par le fluide. En général, on connaît les valeurs de ρ sur le bord de R et
éventuellement la limite de ρ(M ) quand M tend vers l’infini : c’est ce qu’on appelle
les conditions au bord.
Supposons que ρ 1 et ρ 2 sont des potentiels harmoniques à l’intérieur de R satisfaisant
les mêmes conditions au bord. La fonction f = ρ 2 −ρ 1 est harmonique dans R et comme
elle est nulle au bord, f atteint un extremum en un point intérieur à R. D’après ce qui
précède, f est constante dans R, et comme f est nulle au bord, on a f (M ) = 0 en tout
point M de R, c’est-à-dire ρ 1 = ρ 2 .
Le potentiel harmonique ρ est donc parfaitement déterminé par les conditions aux
bord du domaine, et il en va de même du mouvement des particules dans le fluide.
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 433