(2)
C
P dx+Qdy+Rdz =
S
− − − − − − →
Rot
− →
E
·
− − →
N d a
Si un champ de vecteur
− →
E est défini dans une région contenant la surface S , la circulation
de
− →
E sur le bord de S est le flux du rotationnel de
− →
E à travers S .
Cas d'un domaine de l'espace limité par une surface fermée
Soient S une surface fermée et D la région de l’espace située à l’intérieur.
La forme différentielle est α=Adydz+Bdzdx+Cdxdy, son champ est
− →
E=A
→
i+B
→
j+C
→
k.
L’intégrale de α sur S = ∂D est le flux de
− →
E à travers S .
Puisque dα = (div
− →
E) dxdydz, la formule de Stokes s’écrit
(3)
D
(div
− →
E) dxdydz =
S
− →
E ·
− − →
N d a
Si un champ de vecteur E est défini dans une région de l’espace D bordée par une surface
fermée S , le flux de
− →
E à travers S est l’intégrale dans D de la divergence de
− →
E .
Si la divergence de
→
E est nulle, le flux à travers toute surface fermée
est nul : on dit que le champ est conservatif. Un champ de vitesses est
conservatif si dans toute région de l’espace, la quantité de matière entrante par unité de temps est égale à la quantité sortante (exercice 6).
On a représenté ci-contre le champ (x, y, e
z
2 ) : il n’est pas conservatif.
Exemple. Reprenons la surface fermée S de l’exemple page 428. D’après la formule (3), le flux du champ
− →
E = (1/z)
→
k à travers S est l’intégrale de div
− →
E = −1/z
2
dans l’intérieur Δ de S . Pour calculer directement cette intégrale, intégrons d’abord
pour z fixé entre a et R : la section de Δ par le plan horizontal à la hauteur z est
un disque de rayon r(z) =
√
R 2 − z 2 , donc d’aire π(R
2
− z
2 ). En intégrant d’abord
en x puis en y, il vient
Δ
(div
− →
E) dxdydz =
Δ
−1
z
2
dxdydz =
R
a
π(R
2
−z
2 )
−1
z
2
dz = π(R−a)+πR
2
1
R
− 1
a
Puisque a = R sin α, cela s’écrit πR(1− sin α) + πR
1− 1
sin α
= πR
2− sin α− 1
sin α
ou encore
Δ
(div
− →
E) dxdydz = −πR
(1− sin α)
2
sin α
et l’on retrouve bien la valeur du flux de
− →
E à travers S .
432 – FORMULE DE STOKES