contenant D. On a alors dω =
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
dx dy et la formule de Stokes s’écrit
(1)
C
P dx + Qdy =
D
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
dxdy
Justification. Prenons comme domaine D un rectangle, formé des points (x,y) tels que axb
et p y q. Le bord est constitué de deux segments horizontaux h + et h − et de deux segments
verticaux v + et v − . Calculons l’intégrale I =
D
− ∂P
∂y
dxdy en intégrant d’abord pour x fixé :
I =
b
a
q
p
− ∂P
∂y
dy
dx =
b
a
−P (x, q) + P (x, p)
dx
x
y
D
h +
h −
v +
v −
En paramétrant h − par (x = t, y = p), où t parcourt [a, b], il vient
h −
P dx =
b
a
P (t, p) dt.
Pour l’intégrale curviligne sur h + , l’abscisse du point doit aller de b à a, donc
h +
P dx =
a
b
P (t, q) dt=−
b
a
P (t, q) dt. On a donc I =
h + ∪h −
P dx. Sur les segments verticaux, x est constant, la différentielle dx est nulle, donc
v +
P dx =
v −
P dx = 0 et
finalement I =
∂D
P dx. De même, on a
D
∂Q
∂x
dxdy =
∂D
Q dy
et il vient
D
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
dxdy =
∂D
P dx + Qdy.
Exemple.
x
D
C
1
1
Calculons l’intégrale I =
D
x
2 dxdy, où D est l’intérieur de l’ellipse C
d’équation (y − x)
2 + x
2 = 1.
En choisissant P = 0 et Q = x
3 , il vient P dx + Qdy = x
3 dy et
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 3x
2 . La formule (1) s’écrit
C
x
3 dy =
D
3x
2 dxdy = 3I
Paramétrons l’ellipse en posant x = cos t et y − x = sin t, donc y = sin t + cos t. On
a dy = cos t − sin t et
C
x
3 dy =
π
−π
(cos t)
3 (cos t − sin t) dt =
π
−π
(cos t)
4 dt, car la
fonction (cos t)
3 sin t étant impaire, son intégrale entre −π et π est nulle. On obtient
ainsi 3I = 3π/4, d’où I = π/4. Si D est une plaque homogène de densité ρ, son
moment d’inertie par rapport à l’axe Oy est donc ρπ/4.
Cas d'une surface dans l'espace
Supposons que le domaine est une surface S dans l’espace, bordée par une courbe C .
® La forme différentielle est ω = P dx + Qdy + Rdz, son champ est
− →
E = P
→
i +Q
→
j +R
→
k
et l’intégrale de ω sur C = ∂S est la circulation de
− →
E sur C .
® Le champ associé à dω est
− − − − − − →
Rot
− →
E
et l’intégrale de dω sur S est le flux de ce
rotationnel.
La formule de Stokes s’écrit
C
P dx+Qdy+Rdz =
S
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dydz +
∂P
∂z
− ∂R
∂x
dzdx +
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
dxdy
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 431
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
dx dy et la formule de Stokes s’écrit
(1)
C
P dx + Qdy =
D
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
dxdy
Justification. Prenons comme domaine D un rectangle, formé des points (x,y) tels que axb
et p y q. Le bord est constitué de deux segments horizontaux h + et h − et de deux segments
verticaux v + et v − . Calculons l’intégrale I =
D
− ∂P
∂y
dxdy en intégrant d’abord pour x fixé :
I =
b
a
q
p
− ∂P
∂y
dy
dx =
b
a
−P (x, q) + P (x, p)
dx
x
y
D
h +
h −
v +
v −
En paramétrant h − par (x = t, y = p), où t parcourt [a, b], il vient
h −
P dx =
b
a
P (t, p) dt.
Pour l’intégrale curviligne sur h + , l’abscisse du point doit aller de b à a, donc
h +
P dx =
a
b
P (t, q) dt=−
b
a
P (t, q) dt. On a donc I =
h + ∪h −
P dx. Sur les segments verticaux, x est constant, la différentielle dx est nulle, donc
v +
P dx =
v −
P dx = 0 et
finalement I =
∂D
P dx. De même, on a
D
∂Q
∂x
dxdy =
∂D
Q dy
et il vient
D
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
dxdy =
∂D
P dx + Qdy.
Exemple.
x
D
C
1
1
Calculons l’intégrale I =
D
x
2 dxdy, où D est l’intérieur de l’ellipse C
d’équation (y − x)
2 + x
2 = 1.
En choisissant P = 0 et Q = x
3 , il vient P dx + Qdy = x
3 dy et
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 3x
2 . La formule (1) s’écrit
C
x
3 dy =
D
3x
2 dxdy = 3I
Paramétrons l’ellipse en posant x = cos t et y − x = sin t, donc y = sin t + cos t. On
a dy = cos t − sin t et
C
x
3 dy =
π
−π
(cos t)
3 (cos t − sin t) dt =
π
−π
(cos t)
4 dt, car la
fonction (cos t)
3 sin t étant impaire, son intégrale entre −π et π est nulle. On obtient
ainsi 3I = 3π/4, d’où I = π/4. Si D est une plaque homogène de densité ρ, son
moment d’inertie par rapport à l’axe Oy est donc ρπ/4.
Cas d'une surface dans l'espace
Supposons que le domaine est une surface S dans l’espace, bordée par une courbe C .
® La forme différentielle est ω = P dx + Qdy + Rdz, son champ est
− →
E = P
→
i +Q
→
j +R
→
k
et l’intégrale de ω sur C = ∂S est la circulation de
− →
E sur C .
® Le champ associé à dω est
− − − − − − →
Rot
− →
E
et l’intégrale de dω sur S est le flux de ce
rotationnel.
La formule de Stokes s’écrit
C
P dx+Qdy+Rdz =
S
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dydz +
∂P
∂z
− ∂R
∂x
dzdx +
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
dxdy
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 431