Exemples. (voir les figures ci-dessous)
1) Le domaine D 1 est un disque centré à l’origine, son bord ∂D 1 est un cercle orienté
dans le sens de la flèche (figure 1). Si le rayon est R, on peut prendre comme
paramétrage du bord M (t) =
x(t), y(t)
= (R cos t, R sin t), où t va de 0 à 2π : le
vecteur normal en (x, y) est 1
R
(−y, x), il est bien dirigé vers l’intérieur du disque.
2) D 2 est le domaine compris entre deux disques et son bord ∂D 2 est constitué de
deux cercles (figure 2) ; ceux-ci sont orientés dans des sens différents (le sens des
flèches est celui qui met le domaine à gauche quand on se déplace sur le bord).
On paramètre le cercle extérieur comme ci-dessus. Si le cercle intérieur, de rayon
r < R, est centré en (a, b), on peut le paramétrer par x = a + r cos t, y = b − r sin t,
t allant de 0 à 2π : la normale pointe alors vers l’intérieur du domaine D 2 .
3) Le domaine D 3 est un hémisphère, formé des points (x, y,
R 2 − x 2 − y 2 ), où
R est le rayon (figure 3). Son bord est le grand cercle dans le plan xOy, orienté
comme l’indique la flèche.
4) Le domaine V = {(x, y, z) | x
2 +y
2 +z
2
R
2
} est une boule (pleine) de rayon R et
son bord S = ∂V est une sphère (figure 4). En utilisant les coordonnées sphériques,
les points de S sont
M (θ, ϕ) =
R cos θ cos ϕ, R sin θ cos ϕ, R sin ϕ
, où 0 θ < 2π et −π/2 ϕ π/2.
Le vecteur normal en M est
− − →
∂M
∂θ
∧
− − →
∂M
∂ϕ
= (R cos ϕ)
− − − − − − − →
OM , donc il est dirigé vers
l’extérieur de la boule, puisque cos ϕ > 0.
x
y
y
z
z
x
x
y
x
y
1
2
3
4
D 1
D 2
D 3
V
Formule de Stokes. Soit D un domaine comme ci-dessus et soit ω une forme différentielle définie dans une région contenant D et de degré la dimension du bord de D. Alors on a
∂D
ω =
D
dω
Voyons comment se traduit cette formule selon les cas.
Cas d'un domaine plan
Supposons que D est un domaine plan limité par une courbe fermée C . Prenons
une forme différentielle à deux variables : ω = P dx + Qdy, définie dans une région
430 – FORMULE DE STOKES