Flux à travers D . En tout point de D, le champ est (1/a)
→
k, un vecteur constant.
Le vecteur normal à D orienté vers l’extérieur est
− − →
N = −
→
k, donc le flux de
− →
E à
travers D est le produit de l’aire de D par (1/a)
→
k ·
− − →
N = −1/a. Puisque le rayon
de D est R cos α, ce flux est
D
dx dy
z
= π(R cos α)
2
−1
a
= −πR
(cos α)
2
sin α
.
Le flux de
− →
E à travers S est donc
2πR(1 − sin α)−πR
(cos α)
2
sin α
= 2πR − πR
sin α
1 + (sin α)
2
= −πR
(1− sin α)
2
sin α
.
2.3 Formule de Stokes
Nous allons considérer des domaines à bord convenablement paramétrés.
® Des surfaces régulières dont le bord est réunion de courbes régulières ; ce sont des
domaines de dimension 2, leur bord est de dimension 1.
Exemples : un rectangle plein, un disque, une calotte sphérique ou la surface
latérale d’un cylindre.
® Des domaines de l’espace limités par des morceaux de surfaces régulières qui
en constituent le bord ; ces domaines sont de dimension 3 et leur bord est de
dimension 2.
Exemples : une sphère pleine ou un cylindre plein, l’intérieur d’un parallélépipède
ou un tore plein.
Orientation et règles de paramétrage. Rappelons la définition du vecteur
normal unitaire à une courbe ou à une surface paramétrée.
® En tout point M (t) d’une courbe paramétrée plane régulière, le vecteur tangent
unitaire
− →
T , porté par
− − →
∂M
∂t
, et le vecteur normal unitaire
− − →
N , forment une base
orthonormée directe (
− →
T ,
− − →
N ) (page 315).
® En tout point M (u,v) d’une surface paramétrée régulière, le vecteur normal unitaire
est dans la direction du produit vectoriel
− − →
∂M
∂u
∧
− − →
∂M
∂v
(page 400).
Règle 1. Une courbe C formant le bord d’une surface S sera toujours paramétrée
de manière que le vecteur normal à C et tangent à S soit dirigé vers l’intérieur du
domaine : pour une surface plane, cela veut dire que si l’on parcourt le bord dans
le sens croissant du paramètre, alors l’intérieur du domaine est du côté gauche.
Règle 2. Pour une région de l’espace limitée par une surface, on doit paramétrer
cette surface de manière que le vecteur normal soit toujours dirigé vers l’extérieur
du domaine.
Notation. Si D est un domaine, on note ∂D son bord ainsi paramétré.
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 429
→
k, un vecteur constant.
Le vecteur normal à D orienté vers l’extérieur est
− − →
N = −
→
k, donc le flux de
− →
E à
travers D est le produit de l’aire de D par (1/a)
→
k ·
− − →
N = −1/a. Puisque le rayon
de D est R cos α, ce flux est
D
dx dy
z
= π(R cos α)
2
−1
a
= −πR
(cos α)
2
sin α
.
Le flux de
− →
E à travers S est donc
2πR(1 − sin α)−πR
(cos α)
2
sin α
= 2πR − πR
sin α
1 + (sin α)
2
= −πR
(1− sin α)
2
sin α
.
2.3 Formule de Stokes
Nous allons considérer des domaines à bord convenablement paramétrés.
® Des surfaces régulières dont le bord est réunion de courbes régulières ; ce sont des
domaines de dimension 2, leur bord est de dimension 1.
Exemples : un rectangle plein, un disque, une calotte sphérique ou la surface
latérale d’un cylindre.
® Des domaines de l’espace limités par des morceaux de surfaces régulières qui
en constituent le bord ; ces domaines sont de dimension 3 et leur bord est de
dimension 2.
Exemples : une sphère pleine ou un cylindre plein, l’intérieur d’un parallélépipède
ou un tore plein.
Orientation et règles de paramétrage. Rappelons la définition du vecteur
normal unitaire à une courbe ou à une surface paramétrée.
® En tout point M (t) d’une courbe paramétrée plane régulière, le vecteur tangent
unitaire
− →
T , porté par
− − →
∂M
∂t
, et le vecteur normal unitaire
− − →
N , forment une base
orthonormée directe (
− →
T ,
− − →
N ) (page 315).
® En tout point M (u,v) d’une surface paramétrée régulière, le vecteur normal unitaire
est dans la direction du produit vectoriel
− − →
∂M
∂u
∧
− − →
∂M
∂v
(page 400).
Règle 1. Une courbe C formant le bord d’une surface S sera toujours paramétrée
de manière que le vecteur normal à C et tangent à S soit dirigé vers l’intérieur du
domaine : pour une surface plane, cela veut dire que si l’on parcourt le bord dans
le sens croissant du paramètre, alors l’intérieur du domaine est du côté gauche.
Règle 2. Pour une région de l’espace limitée par une surface, on doit paramétrer
cette surface de manière que le vecteur normal soit toujours dirigé vers l’extérieur
du domaine.
Notation. Si D est un domaine, on note ∂D son bord ainsi paramétré.
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 429