Ainsi
(∗)
dy dz
dz dx
dx dy
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
∧
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
du dv =
− − →
∂M
∂u
∧
− − →
∂M
∂v
du dv =
− − − − − − →
H(u, v) du dv
∂M
∂u
∂M
∂v
S
M (u, v)
− − − − − − − →
− − − →
N (u, v)
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
→
E
M (u, v)
da
− − − →
Le vecteur
− − − − − − →
H(u, v) est normal à S au point M (u,v) et en notant
− − − − − − →
N (u, v) le vecteur normal unitaire, il vient
− − − − − − →
H(u, v)dudv=
− − − − − − →
N (u, v)
− − − − − − →
H(u, v)dudv=
− − − − − − →
N (u, v)da, où da est l’élément d’aire
sur la surface.
Notons
− →
E = A
→
i +B
→
j +C
→
k le champ associé à α. Avec les
paramètres u et v, la forme α = Ady dz+Bdz dx+Cdx dy s’écrit, d’après (∗), comme
le produit scalaire
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − →
E
M (u, v)
·
− − − − − − − − − − − − − − →
H(u, v) du dv =
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − →
E
M (u, v)
·
− − − − − − − − − − − − − − →
N (u, v) da
Définition
Soit α = Ady dz+Bdz dx+Cdx dy une forme différentielle de degré 2 et soit
− →
E = A
→
i +B
→
j +C
→
k son champ associé. L’intégrale de α sur S est
S
α =
Δ
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − →
E
M (u, v)
·
− − − − − − − − − − − − − − →
N (u, v) da ,
où
− − − − − − − − − − − − − − →
N (u, v) est le vecteur normal à S et da l’élément d’aire sur la surface.
Si par exemple
− →
E est un champ de vitesses de particules, l’intégrale de α sur S
est la quantité de matière qui traverse la surface par unité de temps. C’est pourquoi
cette intégrale s’appelle aussi le flux de
− →
E à travers S .
Exemple. Coupons la sphère de rayon R
R
z
z
x
y
x
S +
D
R cos α
α
α
a
centrée à l’origine par le plan horizontal
d’équation z = a, où 0 < a < R. Considérons la surface fermée S formée de la calotte
supérieure de la sphère et du disque horizontal situé dans le plan de coupe. Calculons le flux du champ
− →
E = (1/z)
→
k à travers S , c’est-à-dire l’intégrale sur S de la
forme différentielle 1
z
dxdy. Notons S + la calotte et D le disque qui lui sert de base.
Flux à travers S + . On paramètre la sphère par les coordonnées sphériques x =
R cos θ cos ϕ, y = R sinθ cos ϕ, z = R sinϕ, où 0 θ < 2π et −π/2 ϕ π/2. Le vecteur normal à la sphère est alors dirigé vers l’extérieur. En posant a = R sin α, avec
0 < α < π/2, la calotte est formée des points tels que 0 θ < 2π et α ϕ π/2. On a
dx dy = d(R cos θ cos ϕ) d(R sin θ cos ϕ) = R
2 sin ϕ cos ϕ dθ dϕ
S +
dx dy
z
=
π/2
α
2π
0
R
2 sin ϕ cos ϕ
R sin ϕ
dθdϕ = 2πR
π/2
α
cos ϕ dϕ = 2πR(1− sin α)
428 – FORMULE DE STOKES
(∗)
dy dz
dz dx
dx dy
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
∧
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
du dv =
− − →
∂M
∂u
∧
− − →
∂M
∂v
du dv =
− − − − − − →
H(u, v) du dv
∂M
∂u
∂M
∂v
S
M (u, v)
− − − − − − − →
− − − →
N (u, v)
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
→
E
M (u, v)
da
− − − →
Le vecteur
− − − − − − →
H(u, v) est normal à S au point M (u,v) et en notant
− − − − − − →
N (u, v) le vecteur normal unitaire, il vient
− − − − − − →
H(u, v)dudv=
− − − − − − →
N (u, v)
− − − − − − →
H(u, v)dudv=
− − − − − − →
N (u, v)da, où da est l’élément d’aire
sur la surface.
Notons
− →
E = A
→
i +B
→
j +C
→
k le champ associé à α. Avec les
paramètres u et v, la forme α = Ady dz+Bdz dx+Cdx dy s’écrit, d’après (∗), comme
le produit scalaire
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − →
E
M (u, v)
·
− − − − − − − − − − − − − − →
H(u, v) du dv =
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − →
E
M (u, v)
·
− − − − − − − − − − − − − − →
N (u, v) da
Définition
Soit α = Ady dz+Bdz dx+Cdx dy une forme différentielle de degré 2 et soit
− →
E = A
→
i +B
→
j +C
→
k son champ associé. L’intégrale de α sur S est
S
α =
Δ
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − →
E
M (u, v)
·
− − − − − − − − − − − − − − →
N (u, v) da ,
où
− − − − − − − − − − − − − − →
N (u, v) est le vecteur normal à S et da l’élément d’aire sur la surface.
Si par exemple
− →
E est un champ de vitesses de particules, l’intégrale de α sur S
est la quantité de matière qui traverse la surface par unité de temps. C’est pourquoi
cette intégrale s’appelle aussi le flux de
− →
E à travers S .
Exemple. Coupons la sphère de rayon R
R
z
z
x
y
x
S +
D
R cos α
α
α
a
centrée à l’origine par le plan horizontal
d’équation z = a, où 0 < a < R. Considérons la surface fermée S formée de la calotte
supérieure de la sphère et du disque horizontal situé dans le plan de coupe. Calculons le flux du champ
− →
E = (1/z)
→
k à travers S , c’est-à-dire l’intégrale sur S de la
forme différentielle 1
z
dxdy. Notons S + la calotte et D le disque qui lui sert de base.
Flux à travers S + . On paramètre la sphère par les coordonnées sphériques x =
R cos θ cos ϕ, y = R sinθ cos ϕ, z = R sinϕ, où 0 θ < 2π et −π/2 ϕ π/2. Le vecteur normal à la sphère est alors dirigé vers l’extérieur. En posant a = R sin α, avec
0 < α < π/2, la calotte est formée des points tels que 0 θ < 2π et α ϕ π/2. On a
dx dy = d(R cos θ cos ϕ) d(R sin θ cos ϕ) = R
2 sin ϕ cos ϕ dθ dϕ
S +
dx dy
z
=
π/2
α
2π
0
R
2 sin ϕ cos ϕ
R sin ϕ
dθdϕ = 2πR
π/2
α
cos ϕ dϕ = 2πR(1− sin α)
428 – FORMULE DE STOKES