Calculons la différentielle d’une forme α = Ady dz+Bdz dx+Cdx dy de degré 2. On
remplace A, B et C par leur différentielle :
d(Ady dz) =
∂A
∂x
dx+ ∂A
∂y
dy+ ∂A
∂z
dz
dy dz = ∂A
∂x
dx dy dz+ ∂A
∂y
dy dy dz+ ∂A
∂z
dz dy dz
= ∂A
∂x
dx dy dz ,
car dy dy dz = 0 et dz dy dz = −dy dz dz = 0
d(Bdz dx) = ∂B
∂y
dy dz dx = ∂B
∂y
dx dy dz ,
car dy dz dx = −dy dx dz = dx dy dz
d(Cdx dy) = ∂C
∂z
dz dx dy = ∂C
∂z
dx dy dz ,
car dz dx dy = −dx dz dy = dx dy dz
On obtient ainsi
dα =
∂A
∂x
+ ∂B
∂y
+ ∂C
∂z
dx dy dz
La fonction entre parenthèses est la divergence du champ associé à α.
Définitions
® Une expression f (x, y, z) dx dy dz, où f est une fonction, s’appelle une forme
différentielle de degré 3.
® Si α est une forme différentielle de degré 2, de champ associé
− →
E , la forme
différentielle dα = (div
− →
E) dx dy dz s’appelle la différentielle de α.
2.2 Intégrale d'une forme différentielle
Nous savons définir l’intégrale d’une forme différentielle ω = P dx+Qdy+Rdz sur
une courbe paramétrée C : c’est la circulation
C
P dx+Qdy+Rdz le long de C du
champ associé à ω.
Intégrale d'une forme de degré 2 sur une surface
Donnons-nous une surface paramétrée régulière S : c’est l’ensemble des points
M (u, v) =
x(u, v),y(u, v),z(u, v)
, où le paramètre (u, v) décrit un domaine Δ (page
400). Soit α = Ady dz+Bdz dx+Cdx dy une forme différentielle de degré 2, définie
dans une région de l’espace contenant S .
Dans le produit dy dz , remplaçons dy et dz par leur différentielle dy =
∂y
∂u
du+
∂y
∂v
dv,
dz = ∂z
∂u
du+ ∂z
∂v
dv. Avec les mêmes règles dv du = −du dv, du du = dv dv = 0, il vient
dy dz =
∂y
∂u
∂z
∂v
du dv +
∂y
∂v
∂z
∂u
dv du =
∂y
∂u
∂z
∂v
−
∂y
∂v
∂z
∂u
du dv
On calcule de même
dz dx =
∂z
∂u
∂x
∂v
− ∂z
∂v
∂x
∂u
du dv , dx dy =
∂x
∂u
∂y
∂v
− ∂x
∂v
∂y
∂u
du dv
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 427