Si V (x, y, z) est une fonction, sa différentielle dV = ∂V
∂x
dx + ∂V
∂y
dy + ∂V
∂z
dz est une
forme différentielle de degré 1 et le champ associé à dV est
− − − − − − − − − →
Grad V .
Différentielle d'une forme différentielle
Dans la forme différentielle P dx, remplaçons formellement P par sa différentielle et
notons d(P dx) l’expression obtenue :
d(P dx) =
∂P
∂x
dx + ∂P
∂y
dy + ∂P
∂z
dz
dx = ∂P
∂x
dx dx + ∂P
∂y
dy dx + ∂P
∂z
dz dx
Sur les produits comme dx dy, on calcule comme s’il s’agissait d’un produit vectoriel
de deux vecteurs :
® changer l’ordre des termes se traduit par un changement de signe :
dy dx = −dx dy , dz dx = −dx dz , dz dy = −dy dz
® on a les relations : dx dx = dy dy = dz dz = 0.
dx dy
− →
dx
→
dy
− →
dx
→
dy
dy dx
Justification : Ces règles s’expliquent si l’on pense que dxdy est l’aire orientée d’un parallélépipède infinitésimal défini par un couple (
− →
dx,
→
dy)
porté par les axes : comme le couple (
→
dy,
− →
dx) a
l’orientation opposée, les aires orientées correspondantes sont opposées. Le couple (
− →
dx,
− →
dx) définit
un parallélogramme aplati, donc d’aire nulle.
Avec ces règles, il vient
d(P dx) = ∂P
∂x
dx dx + ∂P
∂y
(−dx dy) + ∂P
∂z
(dz dx) = − ∂P
∂y
dx dy + ∂P
∂z
dz dx
d(Qdy) =
∂Q
∂x
dx dy +
∂Q
∂y
dy dy +
∂Q
∂z
dz dy =
∂Q
∂x
dx dy −
∂Q
∂z
dy dz
d(Rdz) = ∂R
∂x
dx dz + ∂R
∂y
dy dz + ∂R
∂z
dz dz = − ∂R
∂x
dz dx + ∂R
∂y
dy dz
Pour la forme différentielle ω=P dx+Qdy+Rdz , on obtient dω=d(P dx)+d(Qdy)+d(Rdz),
soit
dω =
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy dz +
∂P
∂z
− ∂R
∂x
dz dx +
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
dx dy
Les fonctions composantes de dω sont celles du rotationnel de P
→
i +Q
→
j +R
→
k.
Définitions
® Si A, B, C sont des fonctions, l’expression A dy dz + B dz dx + C dx dy s’appelle
une forme différentielle de degré 2. Le champ de vecteurs associé est A
→
i +B
→
j +C
→
k.
® Si ω est une forme différentielle de degré 1, de champ associé
− →
E , la forme
différentielle dω de degré 2, dont le champ associé est
− − − − − − →
Rot
− →
E
, s’appelle la
différentielle de ω.
426 – FORMULE DE STOKES