Exemple du champ de gravitation. Pour un champ de gravitation
− − − − − − − − − − − →
E(M ) =
− K
r
2
→
u, où r est la distance OM et
→
u = 1
r
− − − − − − − →
OM , le potentiel est ρ(M ) = K
r
(exemple
page 417).
Pour toute courbe d’origine A et d’extrémité B, le travail du champ le long de cette
courbe est K
1
OA
− 1
OB
.
Dans le cas de la gravité terrestre, pour de faibles variations d’altitude, on considère que
le champ est constant :
− − − − − →
E(M ) = −mg
→
u, où g est la « constante » de gravitation terrestre et
m la masse au point M ; on a alors
− − − − − − − −→
E(x, y, z)=−mg
x
r ,
y
r , z
r
=−mg
− − − − →
Grad r =−
− − − − →
Grad mgr
et le potentiel est mgr : le travail du champ de pesanteur le long d’une courbe est alors
simplement le produit du poids mg par la différence d’altitude des extrémités.
La loi de conservation de l'éner gie. Soit un point matériel M de masse m se
déplaçant sous l’action d’un champ de force
− →
E . Le vecteur vitesse est
→
v = d
− − − →
OM
dt
et
l’accélération est
→
Γ = d
→
v
dt
. D’après la loi de Newton, on sait que
− →
E = m
→
Γ. Si a et b
sont les instants de départ et d’arrivée, le travail de la force le long de L est
W =
b
a
− − − − − − − − − − − − − − − − − − →
E
M (t)
·
− − − − − − →
v(t) dt =
b
a
m
− − − − − − →
Γ(t) ·
− − − − − − →
v(t) dt
= m
b
a
¨
x(t) ˙
x(t) + ¨
y(t) ˙
y(t) + ¨
z(t) ˙
z(t)
dt
= m
2
b
a
d
dt
˙
x
2 (t) + ˙
y
2 (t) + ˙
z
2 (t)
dt = m
2
b
a
d
dt
− − − − − − →
v(t)
2
dt
= 1
2
m
− − − − − − →
v(b)
2
− 1
2
m
− − − − − − − →
v(a)
2
La quantité q(M ) = 1
2
m
→
v
2 est l’énergie cinétique : on a donc W = q(B) − q(A),
où A est le point de départ du mouvement et B le point d’arrivée.
Supposons que le champ de force possède un potentiel ρ. On a alors W =ρ(A)−ρ(B),
donc q(B) − q(A) = ρ(A) − ρ(B) ou encore q(A) + ρ(A) = q(B) + ρ(B).
Dans un mouvement sous l’action d’un champ de force ayant un potentiel, la
somme de l’énérgie cinétique et de l’énergie potentielle est constante.
2. Formule de Stokes
2.1 Formes différentielles
Définitions
Si P, Q, R sont des fonctions définies sur un domaine D de l’espace, l’expression
ω = P dx + Qdy + Rdz s’appelle une forme différentielle de degré 1 sur D. Le champ
de vecteur P
→
i +Q
→
j +R
→
k est le champ associé à ω.
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 425
− − − − − − − − − − − →
E(M ) =
− K
r
2
→
u, où r est la distance OM et
→
u = 1
r
− − − − − − − →
OM , le potentiel est ρ(M ) = K
r
(exemple
page 417).
Pour toute courbe d’origine A et d’extrémité B, le travail du champ le long de cette
courbe est K
1
OA
− 1
OB
.
Dans le cas de la gravité terrestre, pour de faibles variations d’altitude, on considère que
le champ est constant :
− − − − − →
E(M ) = −mg
→
u, où g est la « constante » de gravitation terrestre et
m la masse au point M ; on a alors
− − − − − − − −→
E(x, y, z)=−mg
x
r ,
y
r , z
r
=−mg
− − − − →
Grad r =−
− − − − →
Grad mgr
et le potentiel est mgr : le travail du champ de pesanteur le long d’une courbe est alors
simplement le produit du poids mg par la différence d’altitude des extrémités.
La loi de conservation de l'éner gie. Soit un point matériel M de masse m se
déplaçant sous l’action d’un champ de force
− →
E . Le vecteur vitesse est
→
v = d
− − − →
OM
dt
et
l’accélération est
→
Γ = d
→
v
dt
. D’après la loi de Newton, on sait que
− →
E = m
→
Γ. Si a et b
sont les instants de départ et d’arrivée, le travail de la force le long de L est
W =
b
a
− − − − − − − − − − − − − − − − − − →
E
M (t)
·
− − − − − − →
v(t) dt =
b
a
m
− − − − − − →
Γ(t) ·
− − − − − − →
v(t) dt
= m
b
a
¨
x(t) ˙
x(t) + ¨
y(t) ˙
y(t) + ¨
z(t) ˙
z(t)
dt
= m
2
b
a
d
dt
˙
x
2 (t) + ˙
y
2 (t) + ˙
z
2 (t)
dt = m
2
b
a
d
dt
− − − − − − →
v(t)
2
dt
= 1
2
m
− − − − − − →
v(b)
2
− 1
2
m
− − − − − − − →
v(a)
2
La quantité q(M ) = 1
2
m
→
v
2 est l’énergie cinétique : on a donc W = q(B) − q(A),
où A est le point de départ du mouvement et B le point d’arrivée.
Supposons que le champ de force possède un potentiel ρ. On a alors W =ρ(A)−ρ(B),
donc q(B) − q(A) = ρ(A) − ρ(B) ou encore q(A) + ρ(A) = q(B) + ρ(B).
Dans un mouvement sous l’action d’un champ de force ayant un potentiel, la
somme de l’énérgie cinétique et de l’énergie potentielle est constante.
2. Formule de Stokes
2.1 Formes différentielles
Définitions
Si P, Q, R sont des fonctions définies sur un domaine D de l’espace, l’expression
ω = P dx + Qdy + Rdz s’appelle une forme différentielle de degré 1 sur D. Le champ
de vecteur P
→
i +Q
→
j +R
→
k est le champ associé à ω.
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 425