Intégrale curviligne et potentiel
Supposons
− →
E =
− − − − − − − − − →
Grad V , donc
∂V
∂x
, ∂V
∂y
, ∂V
∂z
= (P, Q, R). On a alors
dV = ∂V
∂x
dx
dt
dt + ∂V
∂y
dy
dt
dt + ∂V
∂z
dz
dt
dt = P dx + Qdy + Rdz
donc
C
P dx+Qdy+Rdz =
b
a
d
dt
V
x(t), y(t), z(t)
dt
= V
x(b), y(b), z(b)
− V
x(a), y(a), z(a)
= V (B) − V (A)
où A est l’origine de la courbe et B son extrémité.
Théorème. Si
− →
E =
− − − − − − − − − →
Grad V , alors
C
P dx+Qdy+Rdz = V (B)−V (A) pour toute courbe
d’origine A et d’extrémité B.
Si un champ possède un potentiel ρ, sa circulation le long d’une courbe est la
différence de potentiel ρ(A) − ρ(B) entre l’origine A et l’extrémité B : l’intégrale
curviligne ne dépend pas de la forme de la courbe, mais seulement de la position
des extrémités. Cette propriété est caractéristique d’un champ de gradient.
Conséquences. Si un champ possède un potentiel,
i) son intégrale le long de toute courbe fermée est nulle ;
ii) aucune ligne de champ n’est fermée.
Dans la direction du vecteur
− − − − →
Grad V , la fonction V est strictement croissante (page 365),
donc le potentiel est décroissant. Puisqu’une ligne du champ
→
E =
− − − − →
Grad V est en tout
point tangente au gradient de V , le potentiel décroît strictement quand on parcourt cette
ligne dans le sens du champ : si A est l’origine d’une ligne de champ et B l’extrémité,
alors ρ(A) − ρ(B) est un nombre strictement positif, donc non nul ; il s’ensuit que les
points A et B sont différents, et la ligne de champ n’est pas fermée.
Exemple. Reprenons le champ
− →
E de composantes P =
−y
r
2
,
Q = x
r
2
, étudié dans l’exemple 2 page 419. Calculons la circulation
de
− →
E le long du cercle C de rayon a centré à l’origine.
En paramétrant C par x(t)=acost, y = asint, il vient P dx+Qdy =
−y dx + x dy
r
2
= 1
a
2
(a
2 sin
2 t+a
2 cos
2 t)dt=dt, d’où
C
P dx+Qdy=2π.
La circulation de
− →
E le long de la courbe fermée C n’est pas nulle, donc
− →
E n’est pas
un champ de gradient.
Bien que son rotationnel soit nul, ce champ est défini dans le plan privé de l’origine,
un domaine qui n’a aucune des propriétés énoncées dans la proposition page 420.
424 – CHAMP DE VECTEURS
Supposons
− →
E =
− − − − − − − − − →
Grad V , donc
∂V
∂x
, ∂V
∂y
, ∂V
∂z
= (P, Q, R). On a alors
dV = ∂V
∂x
dx
dt
dt + ∂V
∂y
dy
dt
dt + ∂V
∂z
dz
dt
dt = P dx + Qdy + Rdz
donc
C
P dx+Qdy+Rdz =
b
a
d
dt
V
x(t), y(t), z(t)
dt
= V
x(b), y(b), z(b)
− V
x(a), y(a), z(a)
= V (B) − V (A)
où A est l’origine de la courbe et B son extrémité.
Théorème. Si
− →
E =
− − − − − − − − − →
Grad V , alors
C
P dx+Qdy+Rdz = V (B)−V (A) pour toute courbe
d’origine A et d’extrémité B.
Si un champ possède un potentiel ρ, sa circulation le long d’une courbe est la
différence de potentiel ρ(A) − ρ(B) entre l’origine A et l’extrémité B : l’intégrale
curviligne ne dépend pas de la forme de la courbe, mais seulement de la position
des extrémités. Cette propriété est caractéristique d’un champ de gradient.
Conséquences. Si un champ possède un potentiel,
i) son intégrale le long de toute courbe fermée est nulle ;
ii) aucune ligne de champ n’est fermée.
Dans la direction du vecteur
− − − − →
Grad V , la fonction V est strictement croissante (page 365),
donc le potentiel est décroissant. Puisqu’une ligne du champ
→
E =
− − − − →
Grad V est en tout
point tangente au gradient de V , le potentiel décroît strictement quand on parcourt cette
ligne dans le sens du champ : si A est l’origine d’une ligne de champ et B l’extrémité,
alors ρ(A) − ρ(B) est un nombre strictement positif, donc non nul ; il s’ensuit que les
points A et B sont différents, et la ligne de champ n’est pas fermée.
Exemple. Reprenons le champ
− →
E de composantes P =
−y
r
2
,
Q = x
r
2
, étudié dans l’exemple 2 page 419. Calculons la circulation
de
− →
E le long du cercle C de rayon a centré à l’origine.
En paramétrant C par x(t)=acost, y = asint, il vient P dx+Qdy =
−y dx + x dy
r
2
= 1
a
2
(a
2 sin
2 t+a
2 cos
2 t)dt=dt, d’où
C
P dx+Qdy=2π.
La circulation de
− →
E le long de la courbe fermée C n’est pas nulle, donc
− →
E n’est pas
un champ de gradient.
Bien que son rotationnel soit nul, ce champ est défini dans le plan privé de l’origine,
un domaine qui n’a aucune des propriétés énoncées dans la proposition page 420.
424 – CHAMP DE VECTEURS