dans le domaine D et satisfaisant des conditions au bord de D ou à l’infini, comme
par exemple
− − − − − − − − − →
Grad ρ tangent au bord et ρ nul à l’infini (voir page 372 et l’exercice 2).
Nous verrons page 433 que le mouvement du fluide est alors parfaitement déterminé.
1.3 Intégrale curviligne
Soit
− →
E = P
→
i +Q
→
j +R
→
k un champ de vecteurs et soit C : M (t) =
x(t), y(t), z(t)
une
courbe paramétrée régulière tracée dans le domaine du champ.
− − − − − →
E(M )
M
B
A
C
→
T
Interprétons le vecteur
− − − − − →
E(M ) comme une force appliquée au point M . Le travail de la
force le long d’un petit déplacement δs sur C , du point M (t)
au point M (t + δt), est le produit scalaire
− − − − − →
E(M ) · δs
→
T , où
→
T
est le vecteur tangent unitaire à C en M (seule compte la
composante de la force dans la direction du déplacement). En
paramétrant la courbe par l’abscisse curviligne s (page 313),
le travail de
→
E le long de C est donc
W =
L
0
− − − − − − − − − − − − − − − − − − →
E
M (s)
·
− − − − − − − →
T (s) ds, où L est la longueur de C.
On sait que ds =
d
− − − →
OM
dt
dt, donc
→
T ds = d
− − − →
OM
dt
dt. Si le paramètre t varie de a à b,
il vient W =
b
a
− − − − − − − − →
E
M (t)
· d
− − − →
OM
dt
dt, ou encore
(∗) W =
b
a
P
x(t),y(t),z(t)
x
(t)+Q
x(t),y(t),z(t)
y
(t)+R
x(t),y(t),z(t)
z
(t)
dt
Définition
L’intégrale
b
a
P
x(t), y(t), z(t)
x
(t)+Q
x(t), y(t), z(t)
y
(t)+R
x(t), y(t), z(t)
z
(t)
dt
s’appelle la circulation ou l’intégrale du champ le long de C et se note
C
P dx+Qdy+Rdz.
On dit que c’est une intégrale curviligne.
Nous venons de montrer que la circulation du champ le long de C ne dépend pas de
la façon dont on paramètre la courbe, à condition de garder le même sens de parcours.
Mais si l’on change le sens de parcours, l’intégrale curviligne change de signe.
Calcul d'une intégrale curviligne. Pour calculer W =
C
P dx+Qdy+Rdz,
® on remplace x, y, z par x(t), y(t), z(t) dans les fonctions P, Q, R,
® on remplace dx, dy, dz par les différentielles x
(t)dt, y
(t)dt, z
(t)dt,
® et l’intégrale curviligne est donnée par l’expression (∗).
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 423
par exemple
− − − − − − − − − →
Grad ρ tangent au bord et ρ nul à l’infini (voir page 372 et l’exercice 2).
Nous verrons page 433 que le mouvement du fluide est alors parfaitement déterminé.
1.3 Intégrale curviligne
Soit
− →
E = P
→
i +Q
→
j +R
→
k un champ de vecteurs et soit C : M (t) =
x(t), y(t), z(t)
une
courbe paramétrée régulière tracée dans le domaine du champ.
− − − − − →
E(M )
M
B
A
C
→
T
Interprétons le vecteur
− − − − − →
E(M ) comme une force appliquée au point M . Le travail de la
force le long d’un petit déplacement δs sur C , du point M (t)
au point M (t + δt), est le produit scalaire
− − − − − →
E(M ) · δs
→
T , où
→
T
est le vecteur tangent unitaire à C en M (seule compte la
composante de la force dans la direction du déplacement). En
paramétrant la courbe par l’abscisse curviligne s (page 313),
le travail de
→
E le long de C est donc
W =
L
0
− − − − − − − − − − − − − − − − − − →
E
M (s)
·
− − − − − − − →
T (s) ds, où L est la longueur de C.
On sait que ds =
d
− − − →
OM
dt
dt, donc
→
T ds = d
− − − →
OM
dt
dt. Si le paramètre t varie de a à b,
il vient W =
b
a
− − − − − − − − →
E
M (t)
· d
− − − →
OM
dt
dt, ou encore
(∗) W =
b
a
P
x(t),y(t),z(t)
x
(t)+Q
x(t),y(t),z(t)
y
(t)+R
x(t),y(t),z(t)
z
(t)
dt
Définition
L’intégrale
b
a
P
x(t), y(t), z(t)
x
(t)+Q
x(t), y(t), z(t)
y
(t)+R
x(t), y(t), z(t)
z
(t)
dt
s’appelle la circulation ou l’intégrale du champ le long de C et se note
C
P dx+Qdy+Rdz.
On dit que c’est une intégrale curviligne.
Nous venons de montrer que la circulation du champ le long de C ne dépend pas de
la façon dont on paramètre la courbe, à condition de garder le même sens de parcours.
Mais si l’on change le sens de parcours, l’intégrale curviligne change de signe.
Calcul d'une intégrale curviligne. Pour calculer W =
C
P dx+Qdy+Rdz,
® on remplace x, y, z par x(t), y(t), z(t) dans les fonctions P, Q, R,
® on remplace dx, dy, dz par les différentielles x
(t)dt, y
(t)dt, z
(t)dt,
® et l’intégrale curviligne est donnée par l’expression (∗).
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 423