Une application en hydrodynamique
Dans un fluide en mouvement, chaque particule a des coordonnées d’espace (x, y, z)
et un vecteur vitesse u
→
i +v
→
j +w
→
k. Notons μ la masse volumique (qui dans le cas
d’un gaz, par exemple, n’est pas nécessairement constante).
Considérons au point (x, y, z), un petit élément de volume δxδyδz à côtés parallèles
aux axes de coordonnées.
®
x
y
z
∂y
∂z
∂x
Pendant un petit intervalle de temps δt, la masse de matière
entrant dans ce volume par une face parallèle à yOz est
μ(x, y, z)u(x, y, z) δxδyδz δt ,
® et la quantité sortant par la face opposée est (au premier ordre)
μ(x+δx, y, z)u(x+δx, y, z) δxδyδz δt =
(μu)(x, y, z) +
∂(μu)
∂x
(x, y, z) δx
δyδz δt
En raisonnant de même pour les autres faces, le bilan de masse est
δm = −
∂(μu)
∂x
+
∂(μv)
∂y
+
∂(μw)
∂z
δxδyδz δt
La masse μ δxδyδz de l’élément de volume varie de δm pendant le temps δt, donc
δm
δt
= −
∂(μu)
∂x
+
∂(μv)
∂y
+
∂(μw)
∂z
δxδyδz =
δμ
δt
δxδyδz
Puisque cette masse ne varie pas, en passant aux dérivées, on obtient
∂(μu)
∂x
+
∂(μv)
∂y
+
∂(μw)
∂z
+
∂μ
∂t
= 0 (équation de continuité)
Dans le cas d’une masse gazeuse thermiquement isolée, le paramètre naturel de contrôle
est la pression p : si p 0 et μ 0 sont les valeurs de la pression et de la masse volumique à
un certain instant, alors d’après la loi thermodynamique des gaz, on a p/p 0 = (μ/μ 0 )
γ ,
où γ est une constante dépendant de la nature du gaz (pour l’air atmosphérique, γ
vaut environ 1,4).
Supposons le fluide incompressible. Alors μ est constant et l’équation de continuité
s’écrit ∂u
∂x
+ ∂v
∂y
+ ∂w
∂z
=0. En introduisant le champ des vitesses
− − →
V =u
→
i+v
→
j+w
→
k, il vient
div
− − →
V = 0
Supposons enfin que les mouvements dans le fluide ne présentent aucun tourbillon :
il n’y a aucune ligne de courant fermée, ce qui se traduit par
− − − − − − →
Rot(V ) =
→
0. Si l’espace occupé est un domaine convenable (voir page 420), on sait que le champ des
vitesses possède un potentiel ρ : on a
− − →
V = −
− − − − − − − − − →
Grad ρ . D’après l’équation de continuité,
le laplacien de ρ est Δρ = div(
− − − − − − − − − →
Grad ρ ) = − div
− − →
V = 0, d’où
∂
2 ρ
∂x
2
+
∂
2 ρ
∂y
2
+
∂
2 ρ
∂z
2
= 0 .
Dans ces conditions, le champ des vitesses dérive donc d’un potentiel harmonique.
Pour avoir l’équation des lignes de courant, il faut trouver une fonction ρ harmonique
422 – CHAMP DE VECTEURS
Dans un fluide en mouvement, chaque particule a des coordonnées d’espace (x, y, z)
et un vecteur vitesse u
→
i +v
→
j +w
→
k. Notons μ la masse volumique (qui dans le cas
d’un gaz, par exemple, n’est pas nécessairement constante).
Considérons au point (x, y, z), un petit élément de volume δxδyδz à côtés parallèles
aux axes de coordonnées.
®
x
y
z
∂y
∂z
∂x
Pendant un petit intervalle de temps δt, la masse de matière
entrant dans ce volume par une face parallèle à yOz est
μ(x, y, z)u(x, y, z) δxδyδz δt ,
® et la quantité sortant par la face opposée est (au premier ordre)
μ(x+δx, y, z)u(x+δx, y, z) δxδyδz δt =
(μu)(x, y, z) +
∂(μu)
∂x
(x, y, z) δx
δyδz δt
En raisonnant de même pour les autres faces, le bilan de masse est
δm = −
∂(μu)
∂x
+
∂(μv)
∂y
+
∂(μw)
∂z
δxδyδz δt
La masse μ δxδyδz de l’élément de volume varie de δm pendant le temps δt, donc
δm
δt
= −
∂(μu)
∂x
+
∂(μv)
∂y
+
∂(μw)
∂z
δxδyδz =
δμ
δt
δxδyδz
Puisque cette masse ne varie pas, en passant aux dérivées, on obtient
∂(μu)
∂x
+
∂(μv)
∂y
+
∂(μw)
∂z
+
∂μ
∂t
= 0 (équation de continuité)
Dans le cas d’une masse gazeuse thermiquement isolée, le paramètre naturel de contrôle
est la pression p : si p 0 et μ 0 sont les valeurs de la pression et de la masse volumique à
un certain instant, alors d’après la loi thermodynamique des gaz, on a p/p 0 = (μ/μ 0 )
γ ,
où γ est une constante dépendant de la nature du gaz (pour l’air atmosphérique, γ
vaut environ 1,4).
Supposons le fluide incompressible. Alors μ est constant et l’équation de continuité
s’écrit ∂u
∂x
+ ∂v
∂y
+ ∂w
∂z
=0. En introduisant le champ des vitesses
− − →
V =u
→
i+v
→
j+w
→
k, il vient
div
− − →
V = 0
Supposons enfin que les mouvements dans le fluide ne présentent aucun tourbillon :
il n’y a aucune ligne de courant fermée, ce qui se traduit par
− − − − − − →
Rot(V ) =
→
0. Si l’espace occupé est un domaine convenable (voir page 420), on sait que le champ des
vitesses possède un potentiel ρ : on a
− − →
V = −
− − − − − − − − − →
Grad ρ . D’après l’équation de continuité,
le laplacien de ρ est Δρ = div(
− − − − − − − − − →
Grad ρ ) = − div
− − →
V = 0, d’où
∂
2 ρ
∂x
2
+
∂
2 ρ
∂y
2
+
∂
2 ρ
∂z
2
= 0 .
Dans ces conditions, le champ des vitesses dérive donc d’un potentiel harmonique.
Pour avoir l’équation des lignes de courant, il faut trouver une fonction ρ harmonique
422 – CHAMP DE VECTEURS