veut ∂V
∂x
= P , donc V (x, y) =
x
a
P (t, y) dt + u(y), où u(y) = V (a, y).
∂V
∂y
(x, y) =
x
a
∂P
∂y
(t, y) dt + u
(y)
(dérivation sous le signe intégrale)
=
x
a
∂Q
∂x
(t, y) dt + u
(y)
car ∂P
∂y
=
∂Q
∂x
= Q(x, y) − Q(a, y) + u
(y)
Puisqu’on doit avoir ∂V
∂y
(x, y) = Q(x, y), il s’ensuit u
(y) = Q(a, y) et u(y) =
y
Q(a, t) dt,
ce qu’il fallait démontrer.
Supposons satisfaite la condition de (b) et posons V (x, y) = x
1
0
P (tx, ty) dt + y
1
0
Q(tx, ty) dt.
Ces intégrales ont un sens, car si (x, y) est un point de D, alors pour tout nombre t entre
0 et 1, (tx, ty) est aussi dans D, par hypothèse. En dérivant sous le signe intégrale, on a
∂V
∂x
(x, y) =
1
0
P (tx, ty) dt + x
1
0
t ∂P
∂x
(tx, ty) dt + y
1
0
t
∂Q
∂x
(tx, ty) dt
=
1
0
P (tx, ty) dt + x
1
0
t ∂P
∂x
(tx, ty) dt + y
1
0
t ∂P
∂y
(tx, ty) dt
car
∂Q
∂x
= ∂P
∂y
=
1
0
P (tx, ty) dt +
1
0
tU (t) dt
où U (t)=x ∂P
∂x
(tx,ty)+y ∂P
∂y
(tx,ty)= d
dt
P (tx,ty). Il vient en intégrant par parties
1
0
tU (t) dt=
tP (tx,ty)
1
0
−
1
0
P (tx, ty) dt = P (x,y)−
1
0
P (tx, ty) dt, et donc ∂V
∂x
(x,y)=P (x,y). On montre
de même l’égalité ∂V
∂y
(x, y) = Q(x, y).
Divergence d'un champ de vecteurs
Définition
La divergence du champ de vecteurs
− →
E = P
→
i +Q
→
j +R
→
k est la fonction div
− →
E =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+ ∂R
∂z
.
Formulaire
® div(
− →
E+
− →
F ) = div
− →
E + div
− →
F
® div
− − − − − − →
Rot
− →
E
= 0
® div
− − − − − − − − − →
Grad V
est le laplacien ΔV = ∂
2 P
∂x
2
+
∂
2 Q
∂y
2
+ ∂
2 R
∂z
2
de V .
® Si f est une fonction, div(f
− →
E) = (f ) div
− →
E +
− − − − − − − − − →
Grad f ·
− →
E
® div(
− →
E ∧
− →
F ) =
− − − − − − →
Rot
− →
E
·
− →
F −
− →
E ·
− − − − − − →
Rot
− →
F
® En coordonnées cylindriques, avec la notation
− →
E = E r
→
u +E θ
− − →
u 1 +E z
→
k, on a
div
− →
E =
E r
r
+
∂E r
∂r
+ 1
r
∂E θ
∂θ
+
∂E z
∂z
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 421