® En coordonnées cylindriques, posons
− →
E = E r
→
u +E θ
− − →
u 1 +E z
→
k, où les vecteurs
→
u et
− − →
u 1 sont définis page 368. L’expression du rotationnel est
− − − − − − →
Rot
− →
E
=
1
r
∂E z
∂θ
−
∂E θ
∂z
→
u +
∂E r
∂z
−
∂E z
∂r
− − →
u 1 +
∂E θ
∂r
+
E θ
r
− 1
r
∂E r
∂θ
→
k
Recherche d'un potentiel
Exemple. Considérons le champ
− →
E =
−2x
y
→
i +
x
2 y + 1
y
3
→
j défini sur le demi-plan D
formé des points (x,y) tels que y > 0. Les composantes du champ sont P (x,y) =
−2x
y
et Q(x, y) = x
2
y
2
+ 1
y
3
, de sorte que ∂P
∂y
= 2x
y
2
=
∂Q
∂x
et donc
− − − − − − →
Rot
− →
E
=
→
0.
Cherchons un potentiel −V , c’est-à-dire une fonction telle que
∂V
∂x
=
−2x
y
et ∂V
∂y
= x
2
y
2
+ 1
y
3
En intégrant en x, la première condition donne
V (x, y) =
−x
2
y
+ u(y) ,
où u est fonction de la seule variable y (voir page 369). Dérivons par rapport à y :
x
2
y
2
+ u
(y) = ∂V
∂y
= x
2
y
2
+ 1
y
3
donc u
(y)= 1
y
3
et u(y)=− 1
2y
2
+k, où k est une constante. Ainsi la fonction V (x,y)=
− x
2
y
− 1
2y
2
a pour dérivées partielles ∂V
∂x
= P et ∂V
∂y
= Q, autrement dit
− →
E =
− − − − − − − − − →
Grad V .
Proposition. Soit
− →
E un champ de vecteurs défini dans un domaine D et tel que
− − − − − − →
Rot
− →
E
=
→
0.
a) Supposons que pour tous points A et B de D, le parallélépipède (ou le rectangle) de diagonale AB à côtés parallèles aux axes est inclus dans D. Si (a,b,c) est un point de D, alors
on a
− →
E =
− − − − − − − − − →
Grad V , où V (x, y, z) =
x
a
P (t, y, z) dt +
y
b
Q(a, t, z) dt +
z
c
R(a, b, t) dt.
b) Supposons que pour tout point M ∈ D, le segment OM qui joint M à l’origine est
inclus dans D. Alors on a
− →
E =
− − − − − − − − − →
Grad V , où
V (x, y, z) = x
1
0
P (tx, ty, tz) dt + y
1
0
Q(tx, ty, tz) dt + z
1
0
Q(tx, ty, tz) dt.
L’espace tout entier, ou un demi-plan de frontière parallèle à un axe de coordonnée,
possède la propriété (a) ; un disque ou un demi-plan contenant l’origine possède la
propriété (b) ; l’espace ou le plan privé d’un point ne possède aucune de ces propriétés.
Démonstration. Prenons le cas d’un domaine plan et appelons P, Q les composantes de
→
E .
Supposons la première condition vérifiée et raisonnons comme dans l’exemple ci-dessus : on
420 – CHAMP DE VECTEURS
− →
E = E r
→
u +E θ
− − →
u 1 +E z
→
k, où les vecteurs
→
u et
− − →
u 1 sont définis page 368. L’expression du rotationnel est
− − − − − − →
Rot
− →
E
=
1
r
∂E z
∂θ
−
∂E θ
∂z
→
u +
∂E r
∂z
−
∂E z
∂r
− − →
u 1 +
∂E θ
∂r
+
E θ
r
− 1
r
∂E r
∂θ
→
k
Recherche d'un potentiel
Exemple. Considérons le champ
− →
E =
−2x
y
→
i +
x
2 y + 1
y
3
→
j défini sur le demi-plan D
formé des points (x,y) tels que y > 0. Les composantes du champ sont P (x,y) =
−2x
y
et Q(x, y) = x
2
y
2
+ 1
y
3
, de sorte que ∂P
∂y
= 2x
y
2
=
∂Q
∂x
et donc
− − − − − − →
Rot
− →
E
=
→
0.
Cherchons un potentiel −V , c’est-à-dire une fonction telle que
∂V
∂x
=
−2x
y
et ∂V
∂y
= x
2
y
2
+ 1
y
3
En intégrant en x, la première condition donne
V (x, y) =
−x
2
y
+ u(y) ,
où u est fonction de la seule variable y (voir page 369). Dérivons par rapport à y :
x
2
y
2
+ u
(y) = ∂V
∂y
= x
2
y
2
+ 1
y
3
donc u
(y)= 1
y
3
et u(y)=− 1
2y
2
+k, où k est une constante. Ainsi la fonction V (x,y)=
− x
2
y
− 1
2y
2
a pour dérivées partielles ∂V
∂x
= P et ∂V
∂y
= Q, autrement dit
− →
E =
− − − − − − − − − →
Grad V .
Proposition. Soit
− →
E un champ de vecteurs défini dans un domaine D et tel que
− − − − − − →
Rot
− →
E
=
→
0.
a) Supposons que pour tous points A et B de D, le parallélépipède (ou le rectangle) de diagonale AB à côtés parallèles aux axes est inclus dans D. Si (a,b,c) est un point de D, alors
on a
− →
E =
− − − − − − − − − →
Grad V , où V (x, y, z) =
x
a
P (t, y, z) dt +
y
b
Q(a, t, z) dt +
z
c
R(a, b, t) dt.
b) Supposons que pour tout point M ∈ D, le segment OM qui joint M à l’origine est
inclus dans D. Alors on a
− →
E =
− − − − − − − − − →
Grad V , où
V (x, y, z) = x
1
0
P (tx, ty, tz) dt + y
1
0
Q(tx, ty, tz) dt + z
1
0
Q(tx, ty, tz) dt.
L’espace tout entier, ou un demi-plan de frontière parallèle à un axe de coordonnée,
possède la propriété (a) ; un disque ou un demi-plan contenant l’origine possède la
propriété (b) ; l’espace ou le plan privé d’un point ne possède aucune de ces propriétés.
Démonstration. Prenons le cas d’un domaine plan et appelons P, Q les composantes de
→
E .
Supposons la première condition vérifiée et raisonnons comme dans l’exemple ci-dessus : on
420 – CHAMP DE VECTEURS