Pour tout champ de vecteur
− →
E de composantes [P, Q, R], on obtient les composantes
du rotationnel de E en calculant le « produit vectoriel » (page 223)
∇ ∧ E =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
∧
⎡
⎣
P
Q
R
⎤
⎦ =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
∂P
∂z
− ∂R
∂x
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Pour un champ de vecteurs
− →
E = P (x, y)
→
i +Q(x, y)
→
j dans le plan, on a simplement
− − − − − − →
Rot
− →
E
=
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
→
k
car la fonction R est nulle ainsi que les dérivées de P et de Q par rapport à z.
Le rotationnel d’un champ de vecteur dans le plan xOy est orthogonal à ce plan.
Exemple 1. Dans un mouvement plan circulaire uniforme de centre l’origine, le
champ des vitesses
− →
E(x, y) = −ωy
→
i +ωx
→
j a un rotationnel constant :
− − − − − − →
Rot
− →
E
=
∂(ωx)
∂x
−
∂(−ωy)
∂y
→
k = 2ω
→
k
Exemple 2.
M
O
Soit D le domaine du plan formé des points
différents de l’origine. Le champ de vecteurs sur D défini par
− − − − − − − − − − − →
E(M )=
−y
r
2
→
i+ x
r
2
→
j , où r est la distance OM , a un rotationnel nul.
En effet, en posant P =
−y
r
2
et Q = x
r
2
, on a
∂Q
∂x
= 1
r
2
+ x
∂(r
−2 )
∂x
= 1
r
2
+ x(−2r
−3 ) ∂r
∂x
= 1
r
2
− 2x
r
3
x
r = 1
r
2
− 2x
2
r
4
et de même ∂P
∂y
= − 1
r
2
+
2y
2
r
4
. Il vient
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 2
r
2
−
2x
2 + 2y
2
r
4
= 2
r
2
− 2r
2
r
4
= 0 .
Cependant, nous montrerons page 424 que
− →
E n’est pas un champ de gradient : avoir
un rotationnel nul ne suffit pas toujours pour être un champ de gradient.
Formulaire
®
− − − − − − →
Rot
− − − − − − − − − →
Grad V
=
→
0
®
− − − − − − →
Rot
− →
E +
− →
F
=
− − − − − − →
Rot
− →
E
+
− − − − − − →
Rot
− →
F
® Si f est une fonction,
− − − − − − →
Rot
f
− →
E
=
− − − − − − − − − →
Grad f ∧
− →
E + f
− − − − − − →
Rot
− →
E
.
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 419