Exemple Reprenons le champ E(x, y) = x
→
i −y
→
j (dernier
exemple du précédent paragraphe). Si l’on pose V (x, y) =
1
2
(x
2
−y
2 ), alors ∂V
∂x
=x, ∂V
∂y
=−y, donc
− − − − − − − − − →
Grad V =(x,−y)=
− →
E(x, y) : ainsi le champ
− →
E est un champ de gradient,
de potentiel −V . Les équipotentielles ont pour équation
x
2
− y
2 = k, où k est une constante.
® Pour k = 0, on obtient comme équipotentielles les droites
d’équation y = x et y = −x, bissectrices des axes.
® Si k = 0, l’équipotentielle d’équation x
2
− y
2 = k est une hyperbole ayant pour
asymptotes les bissectrices des axes.
En tout point M =(a,b) du plan, il passe l’équipotentielle H d’équation x
2
−y
2 =a
2
−b
2
et la ligne de champ L d’équation xy = ab. D’après le résultat précédent, H et L
sont orthogonales au point M .
1.2 Rotationnel
Supposons que le champ de vecteur
− →
E(x, y, z) = P (x, y, z)
→
i +Q(x, y, z)
→
j +R(x, y, z)
→
k
est un champ de gradient, de potentiel −V . Alors on a (P,Q,R) =
∂V
∂x
, ∂V
∂y
, ∂V
∂z
et
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
= ∂
∂y
∂V
∂z
− ∂
∂z
∂V
∂y
= ∂
2 V
∂y∂z
− ∂
2 V
∂z∂y
= 0
car on peut dériver dans l’ordre qu’on veut. De même,
∂P
∂z
− ∂R
∂x
= ∂
∂z
∂V
∂x
− ∂
∂x
∂V
∂z
= 0 et
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= ∂
∂x
∂V
∂y
− ∂
∂y
∂V
∂x
= 0.
Définition
Pour tout champ de vecteurs
− →
E = P
→
i +Q
→
j +R
→
k, le champ de vecteurs
− − − − − − →
Rot
− →
E
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
→
i +
∂P
∂z
− ∂R
∂x
→
j +
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
→
k
s’appelle le rotationnel de
− →
E .
énonçons ce que montre le calcul qu’on vient de faire.
Tout champ de gradient a un rotationnel nul.
Procédé de calcul du rotationnel. Définissons le « vecteur-opération »
∇ =
∂
∂x
, ∂
∂y
, ∂
∂z
, appelé nabla.
418 – CHAMP DE VECTEURS