Définition
Le champ de vecteurs
− − − − − − − − − →
Grad V (x, y, z) = ∂V
∂x
→
i + ∂V
∂y
→
j + ∂V
∂z
→
k s’appelle le champ de
gradient de V . La fonction ρ = −V est un potentiel du champ (il est défini à
l’addition près d’une constante).
Exemple.
M
A
Soit
− →
E un champ de vecteurs central dont l’intensité
en tout point M est proportionnelle à 1
r
2
, r étant la distance de
M au centre. En appelant A le centre, on a donc
− − − − − − − − − − − →
E(M ) = c
r
2
→
u
où r est la distance AM ,
→
u le vecteur unitaire dans la direction
− − − − − − − →
AM et c une
constante. Montrons que
− →
E est un champ de gradient, de potentiel ρ(x, y, z) = c
r
.
Choisissons l’origine des coordonnées en A. Si M = (x, y, z), alors r
2 = x
2 + y
2 + z
2 ,
→
u = 1
r
− −→
AM = 1
r (x, y, z) et
→
E(x, y, z) = cx
r
3
→
i +
cy
r
3
→
j + cz
r
3
→
k. On a ∂r
∂x
= x
r et en posant
V = −ρ, il vient ∂V
∂x
= −c
− 1
r
2
∂r
∂x
= cx
r
3
; de même ∂V
∂y
=
cy
r
3
et ∂V
∂z
= cz
r
3
, donc
→
E(x, y, z) =
− − − − →
Grad V (x, y, z).
Propriétés du gradient
®
− − − − − − − − − →
Grad V +W =
− − − − − − − − − →
Grad V +
− − − − − − − − − →
Grad W .
®
− − − − − − − − − →
Grad V W (M ) = V (M )
− − − − − − − − − →
Grad W (M ) + W (M )
− − − − − − − − − →
Grad V (M ).
Expression du gradient en coordonnées cylindriques. Si (r, θ, z) sont les
coordonnées cylindriques d’un point M , introduisons, comme page 368, les vecteurs
orthogonaux unitaires
→
u = cos θ
→
i + sin θ
→
j et
− − →
u 1 = − sin θ
→
i + cos θ
→
j , de sorte qu’on a
− − − − − − − →
OM = r
→
u +z
→
k. D’après le calcul fait au chapitre 12, l’expression du gradient de V est
− − − − − − − − − →
Grad V = ∂V
∂r
→
u + 1
r
∂V
∂θ
− − →
u 1 + ∂V
∂z
→
k
Lignes de champ d'un champ de gradient
Soit
− →
E=
− − − − − − − − − →
Grad V un champ de gradient dans le plan. En tout point M , la ligne de niveau
de V passant par M est orthogonale au vecteur
− − − − − − − − − →
Grad V (M ) (page 370). Puisque le
champ en M est
− − − − − − − − − →
Grad V (M ), cette ligne de niveau est orthogonale à la ligne de champ.
Les lignes de niveau de V (ou de ρ, ce qui revient au même) s’appellent des
équipotentielles et l’on a le résultat suivant.
Les lignes de champ de E sont les courbes orthogonales aux équipotentielles.
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 417
Le champ de vecteurs
− − − − − − − − − →
Grad V (x, y, z) = ∂V
∂x
→
i + ∂V
∂y
→
j + ∂V
∂z
→
k s’appelle le champ de
gradient de V . La fonction ρ = −V est un potentiel du champ (il est défini à
l’addition près d’une constante).
Exemple.
M
A
Soit
− →
E un champ de vecteurs central dont l’intensité
en tout point M est proportionnelle à 1
r
2
, r étant la distance de
M au centre. En appelant A le centre, on a donc
− − − − − − − − − − − →
E(M ) = c
r
2
→
u
où r est la distance AM ,
→
u le vecteur unitaire dans la direction
− − − − − − − →
AM et c une
constante. Montrons que
− →
E est un champ de gradient, de potentiel ρ(x, y, z) = c
r
.
Choisissons l’origine des coordonnées en A. Si M = (x, y, z), alors r
2 = x
2 + y
2 + z
2 ,
→
u = 1
r
− −→
AM = 1
r (x, y, z) et
→
E(x, y, z) = cx
r
3
→
i +
cy
r
3
→
j + cz
r
3
→
k. On a ∂r
∂x
= x
r et en posant
V = −ρ, il vient ∂V
∂x
= −c
− 1
r
2
∂r
∂x
= cx
r
3
; de même ∂V
∂y
=
cy
r
3
et ∂V
∂z
= cz
r
3
, donc
→
E(x, y, z) =
− − − − →
Grad V (x, y, z).
Propriétés du gradient
®
− − − − − − − − − →
Grad V +W =
− − − − − − − − − →
Grad V +
− − − − − − − − − →
Grad W .
®
− − − − − − − − − →
Grad V W (M ) = V (M )
− − − − − − − − − →
Grad W (M ) + W (M )
− − − − − − − − − →
Grad V (M ).
Expression du gradient en coordonnées cylindriques. Si (r, θ, z) sont les
coordonnées cylindriques d’un point M , introduisons, comme page 368, les vecteurs
orthogonaux unitaires
→
u = cos θ
→
i + sin θ
→
j et
− − →
u 1 = − sin θ
→
i + cos θ
→
j , de sorte qu’on a
− − − − − − − →
OM = r
→
u +z
→
k. D’après le calcul fait au chapitre 12, l’expression du gradient de V est
− − − − − − − − − →
Grad V = ∂V
∂r
→
u + 1
r
∂V
∂θ
− − →
u 1 + ∂V
∂z
→
k
Lignes de champ d'un champ de gradient
Soit
− →
E=
− − − − − − − − − →
Grad V un champ de gradient dans le plan. En tout point M , la ligne de niveau
de V passant par M est orthogonale au vecteur
− − − − − − − − − →
Grad V (M ) (page 370). Puisque le
champ en M est
− − − − − − − − − →
Grad V (M ), cette ligne de niveau est orthogonale à la ligne de champ.
Les lignes de niveau de V (ou de ρ, ce qui revient au même) s’appellent des
équipotentielles et l’on a le résultat suivant.
Les lignes de champ de E sont les courbes orthogonales aux équipotentielles.
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 417