vitesse angulaire car v = |ω|
(−y) 2 + x 2 = r|ω|, où r = OM est la distance au
centre. Sur la figure, nous avons choisi ω constant.
Le champ de gravitation. Une masse m 0 en un point A de l’espace exerce sur
toute autre masse m placée en un point M distant de r, une force d’attraction
g(M ) = −
Gm 0 m
r
2
→
u, où
→
u est le vecteur unitaire dans la direction
− − − − − − − →
AM . Le nombre
positif G est la constante d’attraction. La fonction g est un champ de vecteurs. Les
vecteurs g(M ) étant toujours dirigés vers le point A, on dit que le champ est central.
Le champ électrique. De même, une charge électrique q 0 en A exerce sur toute
autre charge placée en un point M distant de r, une force
− − − − − − − − − − − →
E(M ) =
cq 0 q
r
2
→
u, où c
est une constante, positive ou négative, dépendant des unités choisies.
Lignes de champ
Définition
Si
− →
E est un champ de vecteurs dans un domaine D du plan, une ligne de champ
est une courbe paramétrée régulière tracée dans D, tangente en tout point M au
vecteur
− − − − − − − − − − − →
E(M ) et parcourue dans le sens du champ.
En posant M (t)=
x(t),y(t)
et
− →
E =P
→
i+Q
→
j , cela signifie que pour tout t, les vecteurs
x
(t), y
(t)
et
P
x(t), y(t)
, Q
x(t), y(t)
sont colinéaires et de même sens.
Exemple. Le champ
− − − − − − − − − − − − − −
→
E(x, y) = x
→
i−y
→
j est représenté ci-contre :
sur l’axe des abscisses (y = 0), le champ est horizontal, sur l’axe
des ordonnées (x = 0), le champ est vertical et aux autres points
M = (x, y), la pente du champ est
−y
x
= −t, où t est la pente
de
− − − − − − − →
OM .
Une ligne de champ
x(t), y(t)
doit vérifier
0 =
x(t) x
(t)
−y(t) y
(t)
= x(t)y
(t) + x
(t)y(t) = d
dt
x(t)y(t)
L’équation d’une ligne de champ est donc xy = c, où c est une constante.
® Si c = 0, on obtient les quatre demi-axes de coordonnées.
® Pour c =0, les lignes de champ sont des hyperboles ayant les axes pour asymptotes.
1.1 Champ de gradient
Soit V (x, y, z) une fonction de trois variables, à valeurs réelles et ayant des dérivées
continues.
416 – CHAMP DE VECTEURS
(−y) 2 + x 2 = r|ω|, où r = OM est la distance au
centre. Sur la figure, nous avons choisi ω constant.
Le champ de gravitation. Une masse m 0 en un point A de l’espace exerce sur
toute autre masse m placée en un point M distant de r, une force d’attraction
g(M ) = −
Gm 0 m
r
2
→
u, où
→
u est le vecteur unitaire dans la direction
− − − − − − − →
AM . Le nombre
positif G est la constante d’attraction. La fonction g est un champ de vecteurs. Les
vecteurs g(M ) étant toujours dirigés vers le point A, on dit que le champ est central.
Le champ électrique. De même, une charge électrique q 0 en A exerce sur toute
autre charge placée en un point M distant de r, une force
− − − − − − − − − − − →
E(M ) =
cq 0 q
r
2
→
u, où c
est une constante, positive ou négative, dépendant des unités choisies.
Lignes de champ
Définition
Si
− →
E est un champ de vecteurs dans un domaine D du plan, une ligne de champ
est une courbe paramétrée régulière tracée dans D, tangente en tout point M au
vecteur
− − − − − − − − − − − →
E(M ) et parcourue dans le sens du champ.
En posant M (t)=
x(t),y(t)
et
− →
E =P
→
i+Q
→
j , cela signifie que pour tout t, les vecteurs
x
(t), y
(t)
et
P
x(t), y(t)
, Q
x(t), y(t)
sont colinéaires et de même sens.
Exemple. Le champ
− − − − − − − − − − − − − −
→
E(x, y) = x
→
i−y
→
j est représenté ci-contre :
sur l’axe des abscisses (y = 0), le champ est horizontal, sur l’axe
des ordonnées (x = 0), le champ est vertical et aux autres points
M = (x, y), la pente du champ est
−y
x
= −t, où t est la pente
de
− − − − − − − →
OM .
Une ligne de champ
x(t), y(t)
doit vérifier
0 =
x(t) x
(t)
−y(t) y
(t)
= x(t)y
(t) + x
(t)y(t) = d
dt
x(t)y(t)
L’équation d’une ligne de champ est donc xy = c, où c est une constante.
® Si c = 0, on obtient les quatre demi-axes de coordonnées.
® Pour c =0, les lignes de champ sont des hyperboles ayant les axes pour asymptotes.
1.1 Champ de gradient
Soit V (x, y, z) une fonction de trois variables, à valeurs réelles et ayant des dérivées
continues.
416 – CHAMP DE VECTEURS