Chapitre 14
Champ de vecteurs,
formes différentielles
1. Champ de vecteurs
Repérons les points dans le plan ou l’espace au moyen du repère orthonormé (O;
→
i,
→
j,
→
k).
Un champ de vecteurs est la donnée, en tout point M d’une région de l’espace (ou
du plan xOy), d’un vecteur
− − − − − − − − − − − →
E(M ) de l’espace (ou du plan) dépendant du point M .
Définitions
® Si U est un domaine de l’espace, un champ de vecteurs sur U est une fonction
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − →
E(x, y, z) = P (x, y, z)
→
i +Q(x, y, z)
→
j +R(x, y, z)
→
k, où P, Q, R sont des fonctions
à valeurs réelles définies dans U .
® Si D est un domaine plan, une fonction
− − − − − − − − − − − − − −
→
E(x, y) = P (x, y)
→
i +Q(x, y)
→
j est un
champ de vecteurs sur D.
Nous supposons dans la suite que les fonctions coordonnées P, Q, R ont des dérivées
secondes continues.
Exemples
Un champ de vitesses. Dans un fluide en mouvement, chaque particule possède,
à un instant donné, un vecteur vitesse v qui dépend de sa
position : si la particule est au point de coordonnées (x, y, z),
sa vitesse est v(x, y, z) = ∂x
∂t
→
i +
∂y
∂t
→
j + ∂z
∂t
→
k.
La figure ci-contre montre le champ des vitesses dans un
mouvement circulaire plan autour de l’origine : en tout point
M = (x, y), le vecteur v(x, y) est orthogonal à
− − − − − − − →
OM , donc de
la forme v(x, y) = ω(x, y)(−y, x). Le nombre ω(x, y) est la
Chapitre 14 – CHAMP DE VECTEURS, FORMES DIFF ´
ERENTIELLES – 415