Pour résoudre l’équation (e), on cherche les solutions λ 1 x 1 (t) + λ 2 x 2 (t) de l’équation
homogène et une solution particulière de (e). On calcule ensuite les constantes λ 1
et λ 2 pour satisfaire les conditions initiales données.
Il n’y a pas de méthode générale pour résoudre l’équation, mais on trouvera quelques
techniques d’étude dans les exercices en fin de chapitre.
Calcul d'une solution particulière. Supposons qu’on ait trouvé des solutions
non proportionnelles u(t) et v(t) de l’équation homogène (h). Voici comment obtenir
une solution particulière s de l’équation (e).
i) On calcule la fonction w = uv
− u
v (elle ne s’annule pas),
ii) et les fonctions λ(t) =
t
t 0
−b(s)v(s)
w(s)
ds et μ(t) =
t
t 0
b(s)u(s)
w(s)
ds.
Alors s(t)=λ(t)u(t)+μ(t)v(t) est une solution de (e) telle que s(t 0 )=0 (voir page 493).
Aspect vectoriel
Si x 1 et x 2 sont solutions de (h), alors d’après les propriétés (1) et (2), il en va de
même de la combinaison linéaire λ 1 x 1 +λ 2 x 2 .
L’ensemble des solutions d’une équation linéaire homogène est un espace vectoriel.
Pour toute fonction x(t) deux fois dérivable sur I , notons L(x) la fonction
t → x
(t) + p(t)x
(t) + q(t)x(t) .
On définit ainsi une application L : V → F , où V est l’espace vectoriel des fonctions deux fois dérivables sur l’intervalle I et F l’espace de toutes les fonctions.
On dit que L est un opérateur différentiel. On a L(λx) = λL(x) pour tout x ∈ V et
L(x 1 + x 2 ) = L(x 1 ) + L(x 2 ) pour tous x 1 ∈ V , x 2 ∈ V .
L’opérateur L est une application linéaire.
Par définition, une solution de (h) est une fonction x ∈ V telle que L(x) = 0 :
l’ensemble des solutions de (h) est donc le noyau de L (page 172).
Traduisons la seconde affirmation (a) du théorème en notant S 0 = Ker L l’espace
vectoriel des solutions de (h) : si x 1 et x 2 sont des vecteurs de S 0 non colinéaires,
alors tout vecteur x ∈ S 0 est combinaison linéaire de x 1 et x 2 ; cela veut dire que
(x 1 , x 2 ) est une base de S 0 .
L’espace vectoriel des solutions de (h) est de dimension 2.
Les solutions de (e) sont les fonctions x ∈ V telles que L(x) = b. Supposons que s est
une solution de l’équation (e). Pour toute fonction x ∈ V , on a les équivalences
L(x) = b ⇐⇒ L(x) = L(s) ⇐⇒ L(x − s) = 0
Cela exprime que les solutions de (e) sont les fonctions de la forme u + s, où u ∈ S 0 :
c’est l’affirmation (b) du théorème.
Soit t 0 ∈ I . Notons S l’ensemble des solutions de (e) et définissons l’application
C : S → R
2 qui à toute solution x(t) de (e) associe le couple C(x) =
x(t 0 ), x
(t 0 )
.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 451
homogène et une solution particulière de (e). On calcule ensuite les constantes λ 1
et λ 2 pour satisfaire les conditions initiales données.
Il n’y a pas de méthode générale pour résoudre l’équation, mais on trouvera quelques
techniques d’étude dans les exercices en fin de chapitre.
Calcul d'une solution particulière. Supposons qu’on ait trouvé des solutions
non proportionnelles u(t) et v(t) de l’équation homogène (h). Voici comment obtenir
une solution particulière s de l’équation (e).
i) On calcule la fonction w = uv
− u
v (elle ne s’annule pas),
ii) et les fonctions λ(t) =
t
t 0
−b(s)v(s)
w(s)
ds et μ(t) =
t
t 0
b(s)u(s)
w(s)
ds.
Alors s(t)=λ(t)u(t)+μ(t)v(t) est une solution de (e) telle que s(t 0 )=0 (voir page 493).
Aspect vectoriel
Si x 1 et x 2 sont solutions de (h), alors d’après les propriétés (1) et (2), il en va de
même de la combinaison linéaire λ 1 x 1 +λ 2 x 2 .
L’ensemble des solutions d’une équation linéaire homogène est un espace vectoriel.
Pour toute fonction x(t) deux fois dérivable sur I , notons L(x) la fonction
t → x
(t) + p(t)x
(t) + q(t)x(t) .
On définit ainsi une application L : V → F , où V est l’espace vectoriel des fonctions deux fois dérivables sur l’intervalle I et F l’espace de toutes les fonctions.
On dit que L est un opérateur différentiel. On a L(λx) = λL(x) pour tout x ∈ V et
L(x 1 + x 2 ) = L(x 1 ) + L(x 2 ) pour tous x 1 ∈ V , x 2 ∈ V .
L’opérateur L est une application linéaire.
Par définition, une solution de (h) est une fonction x ∈ V telle que L(x) = 0 :
l’ensemble des solutions de (h) est donc le noyau de L (page 172).
Traduisons la seconde affirmation (a) du théorème en notant S 0 = Ker L l’espace
vectoriel des solutions de (h) : si x 1 et x 2 sont des vecteurs de S 0 non colinéaires,
alors tout vecteur x ∈ S 0 est combinaison linéaire de x 1 et x 2 ; cela veut dire que
(x 1 , x 2 ) est une base de S 0 .
L’espace vectoriel des solutions de (h) est de dimension 2.
Les solutions de (e) sont les fonctions x ∈ V telles que L(x) = b. Supposons que s est
une solution de l’équation (e). Pour toute fonction x ∈ V , on a les équivalences
L(x) = b ⇐⇒ L(x) = L(s) ⇐⇒ L(x − s) = 0
Cela exprime que les solutions de (e) sont les fonctions de la forme u + s, où u ∈ S 0 :
c’est l’affirmation (b) du théorème.
Soit t 0 ∈ I . Notons S l’ensemble des solutions de (e) et définissons l’application
C : S → R
2 qui à toute solution x(t) de (e) associe le couple C(x) =
x(t 0 ), x
(t 0 )
.
Chapitre 15 – ´
EQUATIONS DIFF ´
ERENTIELLES – 451