7
@ . a) Montrer que les fonctions t → t − sint et t → t − cost sont des bijections strictement
croissantes de R dans R (utiliser la dérivée).
b) Supposons que deux quantités réelles x et y sont reliées par la relation
x + y = sin x + cos y. Montrer que y est fonction strictement décroissante de
x. En déduire que l’équation 2x = sin x + cos x a au plus une solution.
c) Montrer que l’équation 2x = sinx + cosx a exactement une solution, comprise entre
π/6 et π/4 (étudier la fonction 2x−sinx−cosx sur l’ensemble R : elle est croissante).
8
@ . Des lignes de niveau sonore. Sur un terrain plan, on pose des amplificateurs a 1 et
a 2 en des points A 1 et A 2 distants de 20m. Pour chacun de ces amplificateurs,
l’intensité sonore reçue en un point est inversement proportionnelle au carré de la
distance à l’amplificateur.
Quelle est la courbe formée des points où l’intensité reçue de a 1 est k fois l’intensité reçue de a 2 , k étant un nombre positif donné ? Comment évolue cette courbe
lorsque k devient grand ?
Choisir un repère orthonormé d’origine le milieu de (A 1 , A 2 ), avec l’axe des x porté
par la droite A 1 A 2 . Si k = 1, l’équation trouvée est de la forme x
2 + y
2
− 2ux + v = 0
et la courbe est un cercle centré en un point de la droite A 1 A 2 ; si k = 1, la solution
est la médiatrice de (A 1 , A 2 ).
9. Pour chacune des fonctions f : R
2
→ R suivantes, représenter sur un même dessin
les lignes de niveau indiquées :
a) f (x, y) = x
2 y
2 , niveaux 0, 1 et 4
b) f (x, y) = |x|+|y|, niveaux 0, 1 et 2
c) f (x, y) = |y−1|+x, niveaux −1, 0, 1 d) f (x, y) = |y−1|+x
2 , niveaux 0, 1, 2
10
@ . Utilisation d'un changement de référentiel
Pour tout x 0, posons u(x) = x
1 + x
et f (x) = x
2
1 + 2x
.
a) Montrer que la fonction u est une bijection de [0, +∞[ sur [0, 1[.
b) Montrer que f est une transformation de l’intervalle [0, +∞[.
c) Soit g : [0, 1[ → [0, 1[ la fonction transportée de f par le changement de référentiel
u. Montrer que l’on a g(x
) = x
2 pour tout x
∈ [0, 1[.
d) Quelle est la limite des itérés par g d’un nombre x
0 ∈ [0, 1[ ? Quelle est la limite
des itérés par f d’un nombre x 0 0 ?
e) Montrer que f est une transformation bijective de l’intervalle [0, +∞[. Quelle est
la limite des itérés de x 0 par f
−1 ?
11. Effet « zoom ». On a fait dessiner, par un ordinateur, le graphe d’une fonction f sur
l’intervalle [−a, a] (où a > 0). Cette fonction est telle que f (0) = 0. On veut faire
subir au dessin un effet « zoom » d’un facteur k > 1 en centrant l’opération sur l’origine. Cela revient à changer de référentiel au moyen de la bijection x → kx. Quelle
fonction doit-on demander à l’ordinateur de dessiner pour obtenir le résultat ?
32 – EXERCICES
@ . a) Montrer que les fonctions t → t − sint et t → t − cost sont des bijections strictement
croissantes de R dans R (utiliser la dérivée).
b) Supposons que deux quantités réelles x et y sont reliées par la relation
x + y = sin x + cos y. Montrer que y est fonction strictement décroissante de
x. En déduire que l’équation 2x = sin x + cos x a au plus une solution.
c) Montrer que l’équation 2x = sinx + cosx a exactement une solution, comprise entre
π/6 et π/4 (étudier la fonction 2x−sinx−cosx sur l’ensemble R : elle est croissante).
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@ . Des lignes de niveau sonore. Sur un terrain plan, on pose des amplificateurs a 1 et
a 2 en des points A 1 et A 2 distants de 20m. Pour chacun de ces amplificateurs,
l’intensité sonore reçue en un point est inversement proportionnelle au carré de la
distance à l’amplificateur.
Quelle est la courbe formée des points où l’intensité reçue de a 1 est k fois l’intensité reçue de a 2 , k étant un nombre positif donné ? Comment évolue cette courbe
lorsque k devient grand ?
Choisir un repère orthonormé d’origine le milieu de (A 1 , A 2 ), avec l’axe des x porté
par la droite A 1 A 2 . Si k = 1, l’équation trouvée est de la forme x
2 + y
2
− 2ux + v = 0
et la courbe est un cercle centré en un point de la droite A 1 A 2 ; si k = 1, la solution
est la médiatrice de (A 1 , A 2 ).
9. Pour chacune des fonctions f : R
2
→ R suivantes, représenter sur un même dessin
les lignes de niveau indiquées :
a) f (x, y) = x
2 y
2 , niveaux 0, 1 et 4
b) f (x, y) = |x|+|y|, niveaux 0, 1 et 2
c) f (x, y) = |y−1|+x, niveaux −1, 0, 1 d) f (x, y) = |y−1|+x
2 , niveaux 0, 1, 2
10
@ . Utilisation d'un changement de référentiel
Pour tout x 0, posons u(x) = x
1 + x
et f (x) = x
2
1 + 2x
.
a) Montrer que la fonction u est une bijection de [0, +∞[ sur [0, 1[.
b) Montrer que f est une transformation de l’intervalle [0, +∞[.
c) Soit g : [0, 1[ → [0, 1[ la fonction transportée de f par le changement de référentiel
u. Montrer que l’on a g(x
) = x
2 pour tout x
∈ [0, 1[.
d) Quelle est la limite des itérés par g d’un nombre x
0 ∈ [0, 1[ ? Quelle est la limite
des itérés par f d’un nombre x 0 0 ?
e) Montrer que f est une transformation bijective de l’intervalle [0, +∞[. Quelle est
la limite des itérés de x 0 par f
−1 ?
11. Effet « zoom ». On a fait dessiner, par un ordinateur, le graphe d’une fonction f sur
l’intervalle [−a, a] (où a > 0). Cette fonction est telle que f (0) = 0. On veut faire
subir au dessin un effet « zoom » d’un facteur k > 1 en centrant l’opération sur l’origine. Cela revient à changer de référentiel au moyen de la bijection x → kx. Quelle
fonction doit-on demander à l’ordinateur de dessiner pour obtenir le résultat ?
32 – EXERCICES