12. Reprenons l’exemple 4 page 29 dans le cas a = 1. Étant donné un point (x 0 , y 0 ),
nous avons dessiné (pour a = 1) la courbe C décrite par les points de coordonnées
x t = e
t x 0 , y t = e
t (y 0 + tx 0 ) quand t varie. On se propose, dans cet exercice, de
justifier l’allure de la courbe. Pour simplifier, supposons x 0 = 1.
a) Montrer qu’un point (x, y) est sur la courbe C si et seulement si l’on a x > 0 et
y = y 0 x + x ln x.
b) Étudier la fonction x → y 0 x + x ln x. Représenter sur un même dessin le graphe
de cette fonction pour les valeurs y 0 = 0, y 0 = 1, y 0 = −1.
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@ . Un groupe de transformations géométriques. Soit P le plan euclidien muni d’un repère
orthonormé (O;
→
i,
→
j). On note t la translation de vecteur
→
i et s la symétrie par
rapport à l’axe des ordonnées. Si a ∈ R, notons D a la droite parallèle à l’axe des
ordonnées et passant par le point (a, 0).
a) Pour tout point M de coordonnées (x, y), calculer les coordonnées des points
t(M ) et s(M ).
b) Montrer que s ◦ s est l’identité, que t ◦ s est la symétrie par rapport à la droite
D 1/2 et que t
2
◦ s est la symétrie par rapport à la droite D 1 .
c) Montrer que l’on a s ◦ t = t
−1
◦ s.
d) En déduire les relations s◦t
p = t
−p
◦s pour tout entier p ∈ Z et (s◦t
p )◦(s◦t
q )=t
q−p
pour tous entiers p et q.
e) En déduire que l’ensemble T = {t
p
| p ∈ Z} ∪ {s ◦ t
p
| p ∈ Z} est un groupe de
transformations du plan. Vérifier que T contient les symétries par rapport aux
droites D p et D p/2 , quel que soit l’entier p ∈ Z.
1
2
−1
t
D 1/2
s
le groupe T génère une frise
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 33