d) On dispose de deux pendules simples, constitués chacun d’une masse
suspendue à l’extrémité d’un fil non pesant ; pour de petites oscillations,
la période est proportionnelle à la racine carrée de la longueur du fil.
La longueur de l’un des pendules est double de l’autre. En position de
départ, les pendules sont écartés de leur position d’équilibre d’un même
petit angle, puis on les lâche au même instant.
(i) Montrer que les pendules ne reviendront jamais exactement dans la configuration
de départ.
(ii) On observe qu’après sept oscillations complètes du petit pendule, les deux
pendules sont presque dans la position de départ. Expliquer pourquoi.
(ii) Ces retours simultanés presque à la position de départ se reproduisent avec une
précision croissante après n 1 , n 2 , n 3 , . . . oscillations complètes du petit pendule.
Calculer les entiers n 1 , n 2 et n 3 .
3
@ . Itération affine. Soient a et b des nombres réels et soit f : R → R la fonction définie
par f (x) = ax + b. Donnons-nous un nombre x 0 et notons x n les itérés de x 0 par
f : ils sont définis par la relation x n+1 = f (x n ), pour tout entier n 0.
a) Montrer que si |a| < 1, la suite (x n ) a pour limite le point fixe ω de f .
b) On suppose x 0 = ω et |a| > 1. Montrer que le rapport x n /a
n tend vers x 0 − ω
quand n tend vers l’infini. En déduire que |x n | tend vers +∞.
4. On place un capital c à un taux d’intérêt i ; le montant de la prime versée annuellement
est b. Posons r = 1 + i et notons c n la somme disponible après n années.
Montrer que l’on a c n+1 = rc n + b. En déduire que c n = cr
n + (b/i)(r
n
− 1).
5
@ . Un modèle d'offre et de demande. Dans certains secteurs économiques (comme l’agriculture), le prix p des biens pendant une période est fonction de la quantité q de
biens consommés et la production Q pendant cette période est fonction du prix p
pratiqué pendant la période précédente. Supposons qu’en utilisant des unités convenables, ces fonctions sont assez bien représentées par les formules p = 80 − (1/2)q
et Q = (1/3)p
+ 20 (remarquer que p est fonction décroissante de q et que Q est
fonction croissante de p
). Supposons aussi que l’équilibre q = Q est réalisé. Notons
p n et q n le prix et la consommation pendant la n-ième période.
a) Montrer qu’on a la relation p n+1 = 70 − (1/6)p n . En déduire l’égalité p n =
(20 − q 0 /2)(−1/6)
n + 60. Vers quelle limite tendent les prix ?
b) On suppose q 0 = 20. Pour visualiser l’évolution des prix, dessiner, dans un repère du plan, les points de coordonnées (n, p n ), pour 0 n 6. Observer que la
fluctuation s’amortit.
6. Soient p un nombre réel et f : R → R la fonction définie par f (x) = x
3
− px, où p > 0.
a) Étudier les variations de f et dessiner le graphe.
b) Si b est un nombre réel, déterminer le nombre d’antécédents de b par f (discuter
selon les valeurs b et de p).
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 31
suspendue à l’extrémité d’un fil non pesant ; pour de petites oscillations,
la période est proportionnelle à la racine carrée de la longueur du fil.
La longueur de l’un des pendules est double de l’autre. En position de
départ, les pendules sont écartés de leur position d’équilibre d’un même
petit angle, puis on les lâche au même instant.
(i) Montrer que les pendules ne reviendront jamais exactement dans la configuration
de départ.
(ii) On observe qu’après sept oscillations complètes du petit pendule, les deux
pendules sont presque dans la position de départ. Expliquer pourquoi.
(ii) Ces retours simultanés presque à la position de départ se reproduisent avec une
précision croissante après n 1 , n 2 , n 3 , . . . oscillations complètes du petit pendule.
Calculer les entiers n 1 , n 2 et n 3 .
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@ . Itération affine. Soient a et b des nombres réels et soit f : R → R la fonction définie
par f (x) = ax + b. Donnons-nous un nombre x 0 et notons x n les itérés de x 0 par
f : ils sont définis par la relation x n+1 = f (x n ), pour tout entier n 0.
a) Montrer que si |a| < 1, la suite (x n ) a pour limite le point fixe ω de f .
b) On suppose x 0 = ω et |a| > 1. Montrer que le rapport x n /a
n tend vers x 0 − ω
quand n tend vers l’infini. En déduire que |x n | tend vers +∞.
4. On place un capital c à un taux d’intérêt i ; le montant de la prime versée annuellement
est b. Posons r = 1 + i et notons c n la somme disponible après n années.
Montrer que l’on a c n+1 = rc n + b. En déduire que c n = cr
n + (b/i)(r
n
− 1).
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@ . Un modèle d'offre et de demande. Dans certains secteurs économiques (comme l’agriculture), le prix p des biens pendant une période est fonction de la quantité q de
biens consommés et la production Q pendant cette période est fonction du prix p
pratiqué pendant la période précédente. Supposons qu’en utilisant des unités convenables, ces fonctions sont assez bien représentées par les formules p = 80 − (1/2)q
et Q = (1/3)p
+ 20 (remarquer que p est fonction décroissante de q et que Q est
fonction croissante de p
). Supposons aussi que l’équilibre q = Q est réalisé. Notons
p n et q n le prix et la consommation pendant la n-ième période.
a) Montrer qu’on a la relation p n+1 = 70 − (1/6)p n . En déduire l’égalité p n =
(20 − q 0 /2)(−1/6)
n + 60. Vers quelle limite tendent les prix ?
b) On suppose q 0 = 20. Pour visualiser l’évolution des prix, dessiner, dans un repère du plan, les points de coordonnées (n, p n ), pour 0 n 6. Observer que la
fluctuation s’amortit.
6. Soient p un nombre réel et f : R → R la fonction définie par f (x) = x
3
− px, où p > 0.
a) Étudier les variations de f et dessiner le graphe.
b) Si b est un nombre réel, déterminer le nombre d’antécédents de b par f (discuter
selon les valeurs b et de p).
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 31