L’ensemble des transformations f t , où t parcourt R, est donc un groupe de transformations de R
2 . Remarquons que l’on a f t ◦ f t = f t ◦ f t , car t
+ t = t + t
: on
peut donc composer les transformations f t dans l’ordre qu’on veut.
Puisqu’on a toujours f t (0, 0) = (0, 0), le point (0, 0) est laissé fixe par toutes les
transformations f t .
Soit (p, q) un point de R
2 différent de (0, 0). Quand t varie, les points (x t , y t ) =
f t (p,q)=
pe
ta ,(q +pt)e
ta
décrivent une courbe passant par (p,q), car (p,q)=f 0 (p,q).
Supposons par exemple a > 0. Quand t tend vers −∞, les deux coordonnées x t et
y t tendent vers 0, car lim
t→−∞
e
ta = lim
t→−∞
te
ta = 0 : cela veut dire que le point (x t , y t )
tend vers l’origine quand t tend vers −∞. Quand t tend vers +∞, les valeurs
absolues des coordonnées x t et y t tendent vers l’infini.
x
y
Sur la figure ci-contre, nous avons représenté quelques-unes de ces courbes ; la flèche
indique le sens de parcours quand t augmente. Si l’on
suppose que t est le temps, le point M = (x t , y t ) de
la courbe a pour vitesse à l’instant t le vecteur dM
dt
=
dx
dt
,
dy
dt
=
d
dt
[pe
ta ], d
dt
(q + pt)e
ta
. Il vient donc
dx
dt
,
dy
dt
=
ape
ta , ae
ta (q + pt) + pe
ta
= (ax, ay + x)
Ainsi le mouvement de M est régi par le système
d’équations différentielles
˙
x = ax
˙
y = ay + x
, où ˙
x et ˙
y
désignent comme d’habitude la dérivée par rapport au
temps. Remarquons que le vecteur vitesse du point M ne dépend que des coordonnées
de M . Les équations différentielles de ce type seront traitées au chapitre 16.
Exercices
1
@ . Un exemple de suite périodique. Pour tout entier n 1, notons r n le reste de la division
euclidienne de 2
n par 15.
a) Calculer r 1 , r 2 , r 3 et r 4 , puis montrer que l’on a r n+4 = r n pour tout n.
b) En déduire la valeur de r n , quel que soit l’entier n 1.
2
@ . Meilleure approximation de
√
2 par des fractions
a) Montrer que la partie entière de
√
2 est égale à 1.
b) Montrer que l’on a
√
2 = 1 +
1
1 +
√
2
et 1 +
√
2 = 2 +
1
1 +
√
2
.
c) En déduire les quatre premières fractions de la meilleure approximation de
√
2.
30 – EXERCICES
2 . Remarquons que l’on a f t ◦ f t = f t ◦ f t , car t
+ t = t + t
: on
peut donc composer les transformations f t dans l’ordre qu’on veut.
Puisqu’on a toujours f t (0, 0) = (0, 0), le point (0, 0) est laissé fixe par toutes les
transformations f t .
Soit (p, q) un point de R
2 différent de (0, 0). Quand t varie, les points (x t , y t ) =
f t (p,q)=
pe
ta ,(q +pt)e
ta
décrivent une courbe passant par (p,q), car (p,q)=f 0 (p,q).
Supposons par exemple a > 0. Quand t tend vers −∞, les deux coordonnées x t et
y t tendent vers 0, car lim
t→−∞
e
ta = lim
t→−∞
te
ta = 0 : cela veut dire que le point (x t , y t )
tend vers l’origine quand t tend vers −∞. Quand t tend vers +∞, les valeurs
absolues des coordonnées x t et y t tendent vers l’infini.
x
y
Sur la figure ci-contre, nous avons représenté quelques-unes de ces courbes ; la flèche
indique le sens de parcours quand t augmente. Si l’on
suppose que t est le temps, le point M = (x t , y t ) de
la courbe a pour vitesse à l’instant t le vecteur dM
dt
=
dx
dt
,
dy
dt
=
d
dt
[pe
ta ], d
dt
(q + pt)e
ta
. Il vient donc
dx
dt
,
dy
dt
=
ape
ta , ae
ta (q + pt) + pe
ta
= (ax, ay + x)
Ainsi le mouvement de M est régi par le système
d’équations différentielles
˙
x = ax
˙
y = ay + x
, où ˙
x et ˙
y
désignent comme d’habitude la dérivée par rapport au
temps. Remarquons que le vecteur vitesse du point M ne dépend que des coordonnées
de M . Les équations différentielles de ce type seront traitées au chapitre 16.
Exercices
1
@ . Un exemple de suite périodique. Pour tout entier n 1, notons r n le reste de la division
euclidienne de 2
n par 15.
a) Calculer r 1 , r 2 , r 3 et r 4 , puis montrer que l’on a r n+4 = r n pour tout n.
b) En déduire la valeur de r n , quel que soit l’entier n 1.
2
@ . Meilleure approximation de
√
2 par des fractions
a) Montrer que la partie entière de
√
2 est égale à 1.
b) Montrer que l’on a
√
2 = 1 +
1
1 +
√
2
et 1 +
√
2 = 2 +
1
1 +
√
2
.
c) En déduire les quatre premières fractions de la meilleure approximation de
√
2.
30 – EXERCICES