Puisqu’on a 6(π/3) = 2π, la rotation r
6 est d’angle nul, donc r
6 = id P . On en déduit
r
7 = r ◦ r
6 = r, r
8 = r
2 et aussi r
5 = r
6
◦ r
−1 = r
−1 . Plus généralement, si n est un entier
de signe quelconque, on a r
n+6 = r
n
◦ r
6 = r
n . Le groupe engendré par r ne contient
donc que les six rotations r
k , où 0 k 5, de sorte qu’on a T = {id P ,r,r
2 ,r
3 ,r
4 ,r
5
}.
Voici le tableau des inverses des éléments de T :
f
id P
r
r
2
r
3
r
4
r
5
f
−1 id P r
5
r
4
r
3
r
2
r
® On a (r
2 )
3 = r
6 = id P , donc (r
2 )
n+3 = r
2n+6 = r
2n = (r
2 )
n pour tout entier n ∈ Z ; le
groupe engendré par r
2 est donc seulement formé des trois rotations (r
2 )
0 = id P ,
r
2 et (r
2 )
2 = r
4 ; les transformations r
2 et r
4 sont inverses l’une de l’autre.
® Puisque (r
3 )
2 est l’identité, on en déduit de même que le groupe engendré par
r
3 est l’ensemble à deux éléments {id P , r
3
}. La transformation r
3 est son propre
inverse ; d’ailleurs, l’angle de la rotation r
3 étant égal à π, r
3 est la symétrie par
rapport au centre O.
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
r
−1
r
r
2
r
2
r
2
La figure de gauche montre les itérés par r
du point 1, numérotés de 2 à 6 : la rotation
r les déplace circulairement.
A
1 2 3 4 5 6
r(A) 2 3 4 5 6 1
Par la rotation r
2 , les points 1, 3, 5 sont déplacés circulairement et les points 2, 4, 6 aussi.
A
1 3 5 2 4 6
r
2 (A) 3 5 1 4 6 2
A
1 4 2 5 3 6
r
3 (A) 4 1 5 2 6 3
Exemple 4. Soit a un nombre réel. Pour tout nombre réel t, définissons la
transformation f t de R
2 en posant
f t (x, y) =
e
ta x, e
ta (y + tx)
, pour tout (x, y) ∈ R
2 .
On a f 0 (x, y) = (x, y) pour tout (x, y), donc f 0 est la transformation identité de R
2 .
Posons (X, Y ) = f t (x, y), c’est-à-dire X = e
ta x et Y = e
ta (y + tx).
Si t
est un nombre réel, il vient Y + t
X = e
ta (y + tx) + t
e
ta x = e
ta
y + (t
+ t)x
et
(f t ◦ f t )(x, y) = f t (X, Y ) =
e
t
a X , e
t
a (Y + t
X)
=
e
t
a e
ta x , e
t
a e
ta
y + (t
+ t)x
=
e
(t
+t)a x , e
(t
+t)a
y + (t
+ t)x
= f t +t (x, y) .
On a donc l’égalité f t ◦ f t = f t +t . Cela montre que la composée de deux transformations du type f t est du même type. En choisissant t
= −t, il vient l’égalité
f −t ◦f t =f 0 =id R 2 : ainsi chaque transformation f t est une bijection et l’on a (f t )
−1 =f −t .
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 29
6 est d’angle nul, donc r
6 = id P . On en déduit
r
7 = r ◦ r
6 = r, r
8 = r
2 et aussi r
5 = r
6
◦ r
−1 = r
−1 . Plus généralement, si n est un entier
de signe quelconque, on a r
n+6 = r
n
◦ r
6 = r
n . Le groupe engendré par r ne contient
donc que les six rotations r
k , où 0 k 5, de sorte qu’on a T = {id P ,r,r
2 ,r
3 ,r
4 ,r
5
}.
Voici le tableau des inverses des éléments de T :
f
id P
r
r
2
r
3
r
4
r
5
f
−1 id P r
5
r
4
r
3
r
2
r
® On a (r
2 )
3 = r
6 = id P , donc (r
2 )
n+3 = r
2n+6 = r
2n = (r
2 )
n pour tout entier n ∈ Z ; le
groupe engendré par r
2 est donc seulement formé des trois rotations (r
2 )
0 = id P ,
r
2 et (r
2 )
2 = r
4 ; les transformations r
2 et r
4 sont inverses l’une de l’autre.
® Puisque (r
3 )
2 est l’identité, on en déduit de même que le groupe engendré par
r
3 est l’ensemble à deux éléments {id P , r
3
}. La transformation r
3 est son propre
inverse ; d’ailleurs, l’angle de la rotation r
3 étant égal à π, r
3 est la symétrie par
rapport au centre O.
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
r
−1
r
r
2
r
2
r
2
La figure de gauche montre les itérés par r
du point 1, numérotés de 2 à 6 : la rotation
r les déplace circulairement.
A
1 2 3 4 5 6
r(A) 2 3 4 5 6 1
Par la rotation r
2 , les points 1, 3, 5 sont déplacés circulairement et les points 2, 4, 6 aussi.
A
1 3 5 2 4 6
r
2 (A) 3 5 1 4 6 2
A
1 4 2 5 3 6
r
3 (A) 4 1 5 2 6 3
Exemple 4. Soit a un nombre réel. Pour tout nombre réel t, définissons la
transformation f t de R
2 en posant
f t (x, y) =
e
ta x, e
ta (y + tx)
, pour tout (x, y) ∈ R
2 .
On a f 0 (x, y) = (x, y) pour tout (x, y), donc f 0 est la transformation identité de R
2 .
Posons (X, Y ) = f t (x, y), c’est-à-dire X = e
ta x et Y = e
ta (y + tx).
Si t
est un nombre réel, il vient Y + t
X = e
ta (y + tx) + t
e
ta x = e
ta
y + (t
+ t)x
et
(f t ◦ f t )(x, y) = f t (X, Y ) =
e
t
a X , e
t
a (Y + t
X)
=
e
t
a e
ta x , e
t
a e
ta
y + (t
+ t)x
=
e
(t
+t)a x , e
(t
+t)a
y + (t
+ t)x
= f t +t (x, y) .
On a donc l’égalité f t ◦ f t = f t +t . Cela montre que la composée de deux transformations du type f t est du même type. En choisissant t
= −t, il vient l’égalité
f −t ◦f t =f 0 =id R 2 : ainsi chaque transformation f t est une bijection et l’on a (f t )
−1 =f −t .
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 29