obtenons f ◦ h ◦ h
−1 = g ◦ h ◦ h
−1 ; puisque h ◦ h
−1 = id E , il vient f ◦ id E = g ◦ id E , c’est-à-dire
f = g. On montre de même l’équivalence f = g ⇐⇒ h ◦ f = h ◦ g, d’où (a).
En choisissant h = g
−1 , on obtient f = g ⇐⇒ f ◦ g
−1 = g ◦ g
−1
⇐⇒ f ◦ g
−1 = id E . De même,
avec h = f
−1 , on a f = g ⇐⇒ f
−1
◦ f = f
−1
◦ g ⇐⇒ id E = f
−1
◦ g.
Notation. Soit f une transformation bijective d’un ensemble E . Si n est un entier
positif, la transformation (f
n )
−1 = (f
−1 )
n se note f
−n . On a défini ainsi f
p pour
tout entier p positif ou négatif. De plus, on pose f
0 = id E .
Avec cette notation, on vérifie facilement la règle de calcul :
f
p
◦ f
q = f
p+q
quels que soient les entiers p ∈ Z et q ∈ Z.
Définition
Soit E un ensemble et soit T un ensemble de transformations bijectives de E . On
dit que T est un groupe de transformations de E si l’on a les trois propriétés suivantes :
i) la transformation id E appartient à T ;
ii) si f et g appartiennent à T , la composée g ◦ f appartient à T ;
iii) si f appartient à T , la transformation f
−1 appartient à T . La transformation
f
−1 s’appelle aussi l’inverse de f .
Soient T un groupe de transformations et f ∈ T . Pour tout entier n 1, f
n appartient à T , donc la transformation (f
n )
−1 = f
−n appartient aussi à T . Puisque f
0 est
la transformation identité, on a f
0
∈ T . On en déduit que f
p appartient à T quel
que soit l’entier p ∈ Z.
L’ensemble de toutes les transformations bijectives de E est un groupe de transformations. Voici d’autres exemples.
Exemple 1. Soit O un point du plan euclidien P . L’ensemble des rotations de
centre O est un groupe de transformations du plan.
En effet, l’identité de P est la rotation d’angle nul, la composée de deux rotations de
centre O est une rotation de centre O et si r est la rotation de centre O et d’angle α,
la transformation réciproque de r est la rotation de centre O et d’angle −α.
Exemple 2. Soit f une transformation bijective d’un ensemble E . L’ensemble des
transformations f
n , où n parcourt Z, est un groupe de transformations ; on dit que
c’est le groupe engendré par f .
Exemple 3.
r
r
2
r
3
r
4
r
5
π/3 2π/3
π
4π/3 5π/3
Soient O un point du plan euclidien P et r la rotation de centre O
et d’angle π/3. Soit T le groupe engendré par
r, c’est-à-dire que T est l’ensemble des rotations
r
n , où n ∈ Z. Le tableau ci-contre indique l’angle
des rotations r, r
2 , r
3 , r
4 et r
5 :
28 – LES FONCTIONS
−1 = g ◦ h ◦ h
−1 ; puisque h ◦ h
−1 = id E , il vient f ◦ id E = g ◦ id E , c’est-à-dire
f = g. On montre de même l’équivalence f = g ⇐⇒ h ◦ f = h ◦ g, d’où (a).
En choisissant h = g
−1 , on obtient f = g ⇐⇒ f ◦ g
−1 = g ◦ g
−1
⇐⇒ f ◦ g
−1 = id E . De même,
avec h = f
−1 , on a f = g ⇐⇒ f
−1
◦ f = f
−1
◦ g ⇐⇒ id E = f
−1
◦ g.
Notation. Soit f une transformation bijective d’un ensemble E . Si n est un entier
positif, la transformation (f
n )
−1 = (f
−1 )
n se note f
−n . On a défini ainsi f
p pour
tout entier p positif ou négatif. De plus, on pose f
0 = id E .
Avec cette notation, on vérifie facilement la règle de calcul :
f
p
◦ f
q = f
p+q
quels que soient les entiers p ∈ Z et q ∈ Z.
Définition
Soit E un ensemble et soit T un ensemble de transformations bijectives de E . On
dit que T est un groupe de transformations de E si l’on a les trois propriétés suivantes :
i) la transformation id E appartient à T ;
ii) si f et g appartiennent à T , la composée g ◦ f appartient à T ;
iii) si f appartient à T , la transformation f
−1 appartient à T . La transformation
f
−1 s’appelle aussi l’inverse de f .
Soient T un groupe de transformations et f ∈ T . Pour tout entier n 1, f
n appartient à T , donc la transformation (f
n )
−1 = f
−n appartient aussi à T . Puisque f
0 est
la transformation identité, on a f
0
∈ T . On en déduit que f
p appartient à T quel
que soit l’entier p ∈ Z.
L’ensemble de toutes les transformations bijectives de E est un groupe de transformations. Voici d’autres exemples.
Exemple 1. Soit O un point du plan euclidien P . L’ensemble des rotations de
centre O est un groupe de transformations du plan.
En effet, l’identité de P est la rotation d’angle nul, la composée de deux rotations de
centre O est une rotation de centre O et si r est la rotation de centre O et d’angle α,
la transformation réciproque de r est la rotation de centre O et d’angle −α.
Exemple 2. Soit f une transformation bijective d’un ensemble E . L’ensemble des
transformations f
n , où n parcourt Z, est un groupe de transformations ; on dit que
c’est le groupe engendré par f .
Exemple 3.
r
r
2
r
3
r
4
r
5
π/3 2π/3
π
4π/3 5π/3
Soient O un point du plan euclidien P et r la rotation de centre O
et d’angle π/3. Soit T le groupe engendré par
r, c’est-à-dire que T est l’ensemble des rotations
r
n , où n ∈ Z. Le tableau ci-contre indique l’angle
des rotations r, r
2 , r
3 , r
4 et r
5 :
28 – LES FONCTIONS