3.5 Groupes de transformations
Rappelons qu’une transformation d’un ensemble E est une application de E dans
E . Les transformations bijectives sont particulièrement utiles.
Exemples
® Dans l’espace euclidien, une symétrie par rapport à un plan ou une rotation autour
d’une droite sont des transformations bijectives.
® Soit F l’ensemble des fonctions de R dans R et soit a un nombre réel. Pour toute
fonction f : R → R, définissons la fonction f a : R → R en posant f a (x) = f (x + a)
pour tout x ∈ R. L’application f → f a est une transformation de F . Remarquons
que si g = f a , alors g(x − a) = f (x) pour tout x, donc g (−a) = f : la transformation
f → f a est donc bijective, la bijection réciproque étant g → g (−a) .
Mettons en évidence les propriétés générales des transformations bijectives d’un
ensemble E . Rappelons que l’on note id E l’application identité de E : c’est une
transformation bijective de E .
A) Pour toute transformation f de E , on a f ◦ id E = id E ◦f = f .
B) Si f est une transformation bijective de E , la transformation réciproque f
−1
permet « d’inverser » f : si x et y sont des éléments de E , on a l’équivalence
y = f (x) ⇐⇒ x = f
−1 (y). Pour tout x ∈ E , on a f
f
−1 (x)
= x et f
−1
f (x)
= x,
ce qui se traduit par les égalités entre transformations :
f ◦ f
−1 = f
−1
◦ f = id E .
C) On peut toujours composer deux transformations de E . Si f et g sont des transformations bijectives de E , leur composée g ◦ f est une transformation bijective
de E et la transformation réciproque de g ◦ f est f
−1
◦ g
−1 : pour tout x ∈ E , on
a en effet les égalités
(f
−1
◦ g
−1 ) ◦ (g ◦ f ) = f
−1
◦ (g
−1
◦ g) ◦ f = f
−1
◦ id E ◦f = f
−1
◦ f = id E .
f
−→
g
−→
E
E
E
←−
f −1
←−
g −1
Proposition. Soient f , g, h des transformations bijectives d’un ensemble E .
i) Pour tout entier n 1, la transformation réciproque de f
n est (f
n )
−1 = (f
−1 )
n .
ii) On a les équivalences :
a) f = g ⇐⇒ f ◦ h = g ◦ h ⇐⇒ h ◦ f = h ◦ g.
b) f = g ⇐⇒ f ◦ g
−1 = id E ⇐⇒ f
−1
◦ g = id E .
Démonstration. La propriété (i) est vraie si n = 1. On a aussi f
2 = f ◦ f et donc (f
2 )
−1 =
f
−1
◦ f
−1 = (f
−1 )
2 d’après ce qui précède. La formule générale se démontre en raisonnant
par récurrence.
Si f = g, alors en composant à droite par la transformation h, on obtient f ◦ h = g ◦ h. Réciproquement, supposons f ◦ h = g ◦ h. En composant à droite par la transformation h
−1 , nous
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 27
Rappelons qu’une transformation d’un ensemble E est une application de E dans
E . Les transformations bijectives sont particulièrement utiles.
Exemples
® Dans l’espace euclidien, une symétrie par rapport à un plan ou une rotation autour
d’une droite sont des transformations bijectives.
® Soit F l’ensemble des fonctions de R dans R et soit a un nombre réel. Pour toute
fonction f : R → R, définissons la fonction f a : R → R en posant f a (x) = f (x + a)
pour tout x ∈ R. L’application f → f a est une transformation de F . Remarquons
que si g = f a , alors g(x − a) = f (x) pour tout x, donc g (−a) = f : la transformation
f → f a est donc bijective, la bijection réciproque étant g → g (−a) .
Mettons en évidence les propriétés générales des transformations bijectives d’un
ensemble E . Rappelons que l’on note id E l’application identité de E : c’est une
transformation bijective de E .
A) Pour toute transformation f de E , on a f ◦ id E = id E ◦f = f .
B) Si f est une transformation bijective de E , la transformation réciproque f
−1
permet « d’inverser » f : si x et y sont des éléments de E , on a l’équivalence
y = f (x) ⇐⇒ x = f
−1 (y). Pour tout x ∈ E , on a f
f
−1 (x)
= x et f
−1
f (x)
= x,
ce qui se traduit par les égalités entre transformations :
f ◦ f
−1 = f
−1
◦ f = id E .
C) On peut toujours composer deux transformations de E . Si f et g sont des transformations bijectives de E , leur composée g ◦ f est une transformation bijective
de E et la transformation réciproque de g ◦ f est f
−1
◦ g
−1 : pour tout x ∈ E , on
a en effet les égalités
(f
−1
◦ g
−1 ) ◦ (g ◦ f ) = f
−1
◦ (g
−1
◦ g) ◦ f = f
−1
◦ id E ◦f = f
−1
◦ f = id E .
f
−→
g
−→
E
E
E
←−
f −1
←−
g −1
Proposition. Soient f , g, h des transformations bijectives d’un ensemble E .
i) Pour tout entier n 1, la transformation réciproque de f
n est (f
n )
−1 = (f
−1 )
n .
ii) On a les équivalences :
a) f = g ⇐⇒ f ◦ h = g ◦ h ⇐⇒ h ◦ f = h ◦ g.
b) f = g ⇐⇒ f ◦ g
−1 = id E ⇐⇒ f
−1
◦ g = id E .
Démonstration. La propriété (i) est vraie si n = 1. On a aussi f
2 = f ◦ f et donc (f
2 )
−1 =
f
−1
◦ f
−1 = (f
−1 )
2 d’après ce qui précède. La formule générale se démontre en raisonnant
par récurrence.
Si f = g, alors en composant à droite par la transformation h, on obtient f ◦ h = g ◦ h. Réciproquement, supposons f ◦ h = g ◦ h. En composant à droite par la transformation h
−1 , nous
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 27