Notons s la symétrie orthogonale par rapport à D. Par le changement de référentiel
s, la rotation r est transportée en la rotation r
.
On a m=s(m
) et M =r(m), donc il vient M
=s(M )=s◦r(m)=s◦r ◦s(m
). Puisque
l’application m
→ M
est la rotation r
, on en déduit l’égalité de fonctions s◦r ◦s = r
.
Dans le cas particulier où O ∈ D, on a O = O
et donc r
= r
−1 .
Exemple 3. Donnons-nous des nombres réels a, b et p et définissons une transformation f : R
2
→ R
2 en posant
(1)
f (x, y) = (x
, y
) , où x
= ax et y
= by + px
2 .
Pour tout (x, y) ∈ R
2 , posons u(x, y) = (X, Y ), où
(2)
X = x et Y = y + sx
2
s étant un nombre réel que nous choisirons plus loin. Cela définit une application
(x, y) → u(x, y) de R
2 dans R
2 . Puisqu’on a
(3)
x = X et y = Y − sx
2 = Y − sX
2 ,
l’application u est bijective. Pour transformer f par le changement de référentiel u,
nous devons exprimer (X
, Y
) = u(x
, y
) au moyen de (X, Y ). D’après la définition
de u donnée en (2), on a
X
= x
et Y
= y
+ sx
2 .
Exprimons x
et y
au moyen de x et y en utilisant (1) et (3) :
X
= x
= ax = aX , car X = x,
Y
= by + px
2 + sx
2 = b(Y − sX
2 ) + pX
2 + s(aX)
2 = bY +
p − s(b−a
2 )
X
2
Rappelons que nous avons le choix du nombre s : si l’on peut prendre s de manière
à annuler le terme en X
2 dans l’expression de Y
, alors la relation entre (X, Y ) et
(X
, Y
) sera très simple.
L’équation p − s(b−a
2 ) = 0 a pour solution s =
p
b−a
2
pourvu que b = a
2 , condition
qui dépend de la fonction f .
Supposons b = a
2 . Alors en choisissant pour s la valeur calculée ci-dessus, on obtient
les relations linéaires
(4)
X
= aX et Y
= bY .
qui expriment la transformation f dans les « nouvelles coordonnées » X et Y . Par
le changement de référentiel u, f est transportée en f
: (X, Y ) → (aX, bY ) dont
l’expression est plus simple que celle de f . On a l’égalité de fonctions f
= u ◦ f ◦ u
−1 .
Il est significatif que les nombres a et b, coefficients de x et de y dans les expressions (1), se retrouvent comme coefficients de X et de Y dans (4) : l’explication
sera donnée page 389.
26 – LES FONCTIONS
s, la rotation r est transportée en la rotation r
.
On a m=s(m
) et M =r(m), donc il vient M
=s(M )=s◦r(m)=s◦r ◦s(m
). Puisque
l’application m
→ M
est la rotation r
, on en déduit l’égalité de fonctions s◦r ◦s = r
.
Dans le cas particulier où O ∈ D, on a O = O
et donc r
= r
−1 .
Exemple 3. Donnons-nous des nombres réels a, b et p et définissons une transformation f : R
2
→ R
2 en posant
(1)
f (x, y) = (x
, y
) , où x
= ax et y
= by + px
2 .
Pour tout (x, y) ∈ R
2 , posons u(x, y) = (X, Y ), où
(2)
X = x et Y = y + sx
2
s étant un nombre réel que nous choisirons plus loin. Cela définit une application
(x, y) → u(x, y) de R
2 dans R
2 . Puisqu’on a
(3)
x = X et y = Y − sx
2 = Y − sX
2 ,
l’application u est bijective. Pour transformer f par le changement de référentiel u,
nous devons exprimer (X
, Y
) = u(x
, y
) au moyen de (X, Y ). D’après la définition
de u donnée en (2), on a
X
= x
et Y
= y
+ sx
2 .
Exprimons x
et y
au moyen de x et y en utilisant (1) et (3) :
X
= x
= ax = aX , car X = x,
Y
= by + px
2 + sx
2 = b(Y − sX
2 ) + pX
2 + s(aX)
2 = bY +
p − s(b−a
2 )
X
2
Rappelons que nous avons le choix du nombre s : si l’on peut prendre s de manière
à annuler le terme en X
2 dans l’expression de Y
, alors la relation entre (X, Y ) et
(X
, Y
) sera très simple.
L’équation p − s(b−a
2 ) = 0 a pour solution s =
p
b−a
2
pourvu que b = a
2 , condition
qui dépend de la fonction f .
Supposons b = a
2 . Alors en choisissant pour s la valeur calculée ci-dessus, on obtient
les relations linéaires
(4)
X
= aX et Y
= bY .
qui expriment la transformation f dans les « nouvelles coordonnées » X et Y . Par
le changement de référentiel u, f est transportée en f
: (X, Y ) → (aX, bY ) dont
l’expression est plus simple que celle de f . On a l’égalité de fonctions f
= u ◦ f ◦ u
−1 .
Il est significatif que les nombres a et b, coefficients de x et de y dans les expressions (1), se retrouvent comme coefficients de X et de Y dans (4) : l’explication
sera donnée page 389.
26 – LES FONCTIONS