Proposition. Soit x 0 ∈ E . Posons x
0 = u(x 0 ).
i) Les itérés x 1 = f (x 0 ), . . . , x k = f (x k−1 ), . . . de x 0 par f ont pour image par u les
itérés x
1 = f (x
0 ), . . . , x
k = f (x
k−1 ), . . . de x
0 par f
.
ii) L’élément x 0 est point fixe de f si et seulement si x
0 est point fixe de f
: autrement
dit, les points fixes de f
sont les images par u des points fixes de f .
Démonstration. Posons x
k = u(x k ) pour tout entier k 0. Raisonnons par récurrence
pour montrer que l’on a x
k = f
(x
k−1 ) pour tout entier k 1. Puisque x 1 = f (x 0 ), il vient
x
1 = u(x 1 ) = u ◦ f (x 0 ) = u ◦ f
u
−1 (x
0 )
= f
(x
0 ). Supposons que k est un entier au moins
égal à 1 tel que x
k = f
(x
k−1 ). Puisque x k+1 = f (x k ), on a x
k+1 = u(x k+1 ) = u ◦ f (x k ) =
u ◦ f
u
−1 (x
k )
= f
(x k ), d’où (i). L’élément x 0 est point fixe de f si et seulement si x 1 = x 0 .
Puisque u est une bijection, cette égalité équivaut à u(x 1 ) = u(x 0 ), c’est-à-dire à x
1 = x
0 , et
cette dernière relation signifie que x
0 est point fixe de f
.
Exemple 1. Posons R
∗
+ = ]0, +∞[ et considérons la transformation f : R
∗
+ → R
∗
+
définie par f (x) = ax
r , où a est un nombre positif donné et r un nombre rationnel.
Changeons de référentiel au moyen de la fonction logarithme ln : R
∗
+ → R qui est
bien une bijection. Pour tout x ∈ R
∗
+ , posons y = f (x), x
= ln x et y
= ln y. Il vient
y = ax
r et y
= ln y = ln(ax
r ) = r ln x + ln a = rx
+ ln a
d’après les propriétés de la fonction logarithme (page 267). La fonction g qui à x
associe y
est donc simplement la fonction x
→ rx
+ b, où b = ln a.
P V = a
ln P + ln V = ln a
ln P
P
ln V
V
ln a
Dans la pratique, ce changement de référentiel s’utilise souvent dans les conditions
suivantes : une série de mesures portant sur deux variables x et y semble indiquer qu’il y a entre x et y une
relation du type y = ax
r , mais ni
r, ni a ne sont connus. On convertit les mesures x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , . . .
dans l’échelle logarithmique et l’on
marque les points de coordonnées
(ln x 1 , ln y 1 ), (ln x 2 , ln y 2 ), . . . Supposons que ces points soient à peu
près alignés sur une droite ; si r est la pente de la droite et si b est son ordonnée à
l’origine, alors ln x et ln y sont liés par la relation ln y = r ln x + b, donc on a y = e
b x
r .
Exemple 2.
D
m
M
O
m
M
O
α
−α
Soient O un point du plan euclidien P et
r la rotation de centre O et d’angle α. Pour tout point
m, posons M = r(m).
Soit D une droite et soient m
, M
, O
les symétriques de
m, M , O par rapport à D. Puisque l’angle de la rotation
r est α, on a
− − − − − − →
Om,
− − − − − − − →
OM =α et comme les angles
− − − − − − →
Om,
− − − − − − − →
OM
et
− − − − − − − − →
O
m
,
− − − − − − − − − →
O
M
sont opposés, il vient
− − − − − − − − →
O
m
,
− − − − − − − − − →
O
M
= −α.
Le point M
se déduit ainsi de m
par la rotation r
de
centre O
et d’angle −α.
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 25
0 = u(x 0 ).
i) Les itérés x 1 = f (x 0 ), . . . , x k = f (x k−1 ), . . . de x 0 par f ont pour image par u les
itérés x
1 = f (x
0 ), . . . , x
k = f (x
k−1 ), . . . de x
0 par f
.
ii) L’élément x 0 est point fixe de f si et seulement si x
0 est point fixe de f
: autrement
dit, les points fixes de f
sont les images par u des points fixes de f .
Démonstration. Posons x
k = u(x k ) pour tout entier k 0. Raisonnons par récurrence
pour montrer que l’on a x
k = f
(x
k−1 ) pour tout entier k 1. Puisque x 1 = f (x 0 ), il vient
x
1 = u(x 1 ) = u ◦ f (x 0 ) = u ◦ f
u
−1 (x
0 )
= f
(x
0 ). Supposons que k est un entier au moins
égal à 1 tel que x
k = f
(x
k−1 ). Puisque x k+1 = f (x k ), on a x
k+1 = u(x k+1 ) = u ◦ f (x k ) =
u ◦ f
u
−1 (x
k )
= f
(x k ), d’où (i). L’élément x 0 est point fixe de f si et seulement si x 1 = x 0 .
Puisque u est une bijection, cette égalité équivaut à u(x 1 ) = u(x 0 ), c’est-à-dire à x
1 = x
0 , et
cette dernière relation signifie que x
0 est point fixe de f
.
Exemple 1. Posons R
∗
+ = ]0, +∞[ et considérons la transformation f : R
∗
+ → R
∗
+
définie par f (x) = ax
r , où a est un nombre positif donné et r un nombre rationnel.
Changeons de référentiel au moyen de la fonction logarithme ln : R
∗
+ → R qui est
bien une bijection. Pour tout x ∈ R
∗
+ , posons y = f (x), x
= ln x et y
= ln y. Il vient
y = ax
r et y
= ln y = ln(ax
r ) = r ln x + ln a = rx
+ ln a
d’après les propriétés de la fonction logarithme (page 267). La fonction g qui à x
associe y
est donc simplement la fonction x
→ rx
+ b, où b = ln a.
P V = a
ln P + ln V = ln a
ln P
P
ln V
V
ln a
Dans la pratique, ce changement de référentiel s’utilise souvent dans les conditions
suivantes : une série de mesures portant sur deux variables x et y semble indiquer qu’il y a entre x et y une
relation du type y = ax
r , mais ni
r, ni a ne sont connus. On convertit les mesures x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , . . .
dans l’échelle logarithmique et l’on
marque les points de coordonnées
(ln x 1 , ln y 1 ), (ln x 2 , ln y 2 ), . . . Supposons que ces points soient à peu
près alignés sur une droite ; si r est la pente de la droite et si b est son ordonnée à
l’origine, alors ln x et ln y sont liés par la relation ln y = r ln x + b, donc on a y = e
b x
r .
Exemple 2.
D
m
M
O
m
M
O
α
−α
Soient O un point du plan euclidien P et
r la rotation de centre O et d’angle α. Pour tout point
m, posons M = r(m).
Soit D une droite et soient m
, M
, O
les symétriques de
m, M , O par rapport à D. Puisque l’angle de la rotation
r est α, on a
− − − − − − →
Om,
− − − − − − − →
OM =α et comme les angles
− − − − − − →
Om,
− − − − − − − →
OM
et
− − − − − − − − →
O
m
,
− − − − − − − − − →
O
M
sont opposés, il vient
− − − − − − − − →
O
m
,
− − − − − − − − − →
O
M
= −α.
Le point M
se déduit ainsi de m
par la rotation r
de
centre O
et d’angle −α.
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 25